O que o teorema diz
O Último Teorema de Fermat afirma: não existem números inteiros positivos x, y, z e um inteiro n > 2 tais que xⁿ + yⁿ = zⁿ. Para n = 2, existem infinitas soluções (ternas pitagóricas: 3² + 4² = 5², etc.). Para n ≥ 3, o teorema afirma que não existem. Simples de enunciar; extraordinariamente difícil de provar.
Três séculos de tentativas
Euler provou o caso n = 3 em 1770. Dirichlet e Legendre provaram n = 5 em 1825. Lamé provou n = 7 em 1839. Kummer provou o teorema para todos os 'primos regulares' em 1850. Na década de 1980, o Último Teorema de Fermat havia sido verificado computacionalmente para todo n até 125.000 — mas computação não é prova. O caso geral resistiu a todos.
A prova de Wiles
Andrew Wiles era obcecado por Fermat desde que leu sobre isso aos 10 anos de idade. Em 1986, Ken Ribet provou que a conjectura de Taniyama-Shimura implica o Último Teorema de Fermat — se todas as curvas elípticas são modulares, então o teorema é verdadeiro. Wiles passou 7 anos em segredo provando a conjectura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas semistáveis. Ele anunciou a prova em junho de 1993. Uma lacuna foi encontrada. Após 14 meses de trabalho adicional, a prova completa apareceu em 1995 — 130 páginas de teoria dos números de ponta. A margem era de fato estreita demais para a prova de Fermat — porque é quase certo que sua prova não existia.
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O que é o Último Teorema de Fermat?
O Último Teorema de Fermat afirma que, para inteiros n > 2, não existem soluções inteiras positivas para xⁿ + yⁿ = zⁿ. Para n = 2, as soluções são abundantes (ternas pitagóricas como 3,4,5). Fermat alegou ter uma prova em 1637, mas nunca a escreveu. Andrew Wiles provou-o em 1995 usando curvas elípticas e formas modulares — matemática que não existia na época de Fermat.
Fermat realmente tinha uma prova?
Quase certamente não. A prova de Wiles usa matemática do século XX (curvas elípticas, formas modulares, representações de Galois) que Fermat não poderia conhecer. As provas de casos especiais (n=3, n=5, n=7) já exigiam inovações substanciais além da época de Fermat. O consenso é que Fermat tinha um argumento falho que ele não revisou cuidadosamente, ou se confundiu com um resultado relacionado mais simples.
Como Andrew Wiles provou o Último Teorema de Fermat?
Wiles provou a conjectura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas semistáveis: cada curva desse tipo corresponde a uma forma modular. Ken Ribet havia provado anteriormente que isso implica o Último Teorema de Fermat. Wiles trabalhou secretamente por 7 anos em Princeton, anunciou uma prova em 1993 (que continha uma lacuna), então completou a prova corrigida em 1994, publicada em 1995 em 130 páginas.