라고반 나라심한: 레비 문제를 해결한 사람

1962년 국제수학자대회는 젊은 인도인 해석학자에게 강연을 맡아달라고 초청했다. 그는 25세였고 박사 학위를 받으려면 아직 1년이 더 남아 있었다. 이 초청은 의례적인 것이 아니었다. 2년 전, 라고반 나라심한(Raghavan Narasimhan)이 반세기 동안 미해결 상태로 남아 유럽 최고의 해석학자 세대를 좌절시켰던 복소 공간의 레비 문제를 해결했기 때문이다. 그는 이후 50년을 시카고에서 보내며 다른 모든 이들이 그 주제를 배운 교과서들을 집필했다.

마드라스와 라신 신부

그는 1937년 8월 31일 마드라스에서 태어났다. 그의 수학적 형성은 그곳의 로욜라 칼리지에서 시작되었으며, 그는 1957년 거기서 학사 학위를 받고 라마누잔을 배출했으나 제도적 기반이 부족했던 국가에 대륙 해석학을 들여온 프랑스 예수회 신부 라신 신부(Father Racine) 밑에서 공부했다. 나라심한은 이어 몸베이로 건너가 타타 연구소의 궤도에 합류했으며, 1963년 정수론 학자 K. 찬드라세카란(K. Chandrasekharan)의 지도 아래 몸베이 대학교에서 박사 학위를 받았다.

연대기는 짚고 넘어갈 가치가 있다. 박사 학위는 1963년에 나왔고, 정리는 1960년과 1961년에 나왔다.

레비 문제

한 변수의 복소 해석학은 아름다운 엄밀성을 가진 주제이다. 원판 위의 정칙 함수는 놀라울 정도로 적은 데이터에 의해 결정된다. 여러 변수에서는 이 엄밀성이 기묘해진다. 복소 공간의 일부 영역은 그 위의 모든 정칙 함수가 더 넓은 영역으로 자동으로 확장되는 성질을 가지고 있다. 즉, 그 영역은 말하자면 자체 함수의 자연스러운 고향이 아니다. 자신만의 자연스러운 고향인 영역들을 정칙 볼록 영역(정칙 영지)이라고 부르며, 1910년 E. E. 레비(E. E. Levi)는 그것들이 어떤 것인지 물으며 경계상의 기하학적 조건인 의사볼록성(pseudoconvexity)이 그 답이라고 추측했다.

이 문제는 몹시 어려운 것으로 판명되었다. 오카 기요시(Kiyoshi Oka)가 1940년대와 1950년대에 복소 유클리드 공간의 영역들에 대해 마침내 이를 해결했다. 그 후 한스 그라우에르트(Hans Grauert)가 복소 다양체를 다루었다. 남은 것은 일반적이고 가장 섬세한 경우인 복소 공간이었다. 이는 공간이 국소적으로 C^n의 멋진 조각이 아니라 핀치되거나 교차된 것과 같은 특이점(singularity)을 갖는 것을 허용한다. 특이점은 도구들을 망가뜨린다. 나라심한이 1961년 《수학 연보》( Mathematische Annalen )에 발표한 논문 "복소 공간의 레비 문제"("The Levi problem for complex spaces")와 그 후속작은 그 경우를 매듭지었다. 이 결과는 여전히 그라우에르트-나라심한(Grauert–Narasimhan)으로 인용되며, 이는 마지막이자 가장 어려운 단계를 그가 해냈음을 기록하는 이 학문 분야의 방식이다.

임베딩

그의 다른 명명된 정리는 1960년 《미국 수학 잡지》( American Journal of Mathematics )에 "정칙 완비 복소 공간의 임베딩"("Imbedding of Holomorphically Complete Complex Spaces")이라는 제목의 논문으로 먼저 나왔다. 스타인 다양체는 자체 점들을 분리하기에 충분한 정칙 함수를 담고 있는 복소해석적 대상이며, 아핀 대수 다양체의 해석적 상대이자 전체 주제의 자연스러운 무대이다. 추상적으로 정의되면 그것들은 상상하기 어렵다. 나라심한은 복소 차원이 n인 모든 스타인 다양체가 C^{2n+1}로의 단사 고유 정칙 몰입을 허용함을 증명했다.

그 문장은 엄청난 양의 일을 해낸다. 그것은 추상적인 스타인 다양체가 결코 이국적이지 않으며, 차원이 오직 n에만 의존하는 유계 차원의 평범한 복소 유클리드 공간의 닫힌 부분집합으로 항상 구체적으로 실현될 수 있음을 말해준다. 이것은 미분 위상수학에서 휘트니의 임베딩 정리에 대응하는 복소해석적 아날로그이며, 추상적으로 정의된 일군의 대상을 사람이 손에 쥘 수 있는 것으로 바꾸어 놓았다. 그 결과에는 그의 이름이 붙어 있다.

시카고

그는 1966년 프린스턴 고등연구원의 방문 학자였으며, 1969년 시카고 대학 수학과 교수로 임용되어 40년 이상 머물렀고 명예교수로 은퇴했다. 그의 관심사는 좁아지기보다 넓어졌다. 여러 복소수 변수 연구와 더불어 해석적 정수론을 연구했으며, 1990년대에는 프린스턴의 필즈 메달 수상자인 찰스 페퍼먼(Charles Fefferman)과 함께 해석학과 실수 대수 기하학의 접점에서 논문을 공동 집필했다. 이는 당시 살아있던 가장 기술적으로 강력한 두 해석학자의 결합이었다. 제네바 대학교는 1986년 그에게 명예 박사 학위를 수여했다.

책들

나라심한은 여섯 권의 책을 썼으며, 그 영향력은 결국 정거들의 영향력을 넘어설지도 모른다. 《실수 및 복소 다양체에서의 해석학》( Analysis on Real and Complex Manifolds, 1968), 시카고 강의 묶음인 《여러 복소 변수》( Several Complex Variables, 1971), 그리고 《한 변수의 복소 해석학》( Complex Analysis in One Variable, 2001)은 압축되고 정확하며 악명 높을 정도로 타협이 없는 책들이다. 즉, 독자에게 안심시키는 말 대신 가장 짧고 올바른 경로를 원한다고 가정하는 책들이다. 세대의 대학원생들이 이 책들로부터 여러 복소 변수를 배웠다. 동료들은 그가 고전 음악과 와인에 똑같이 진지했던 사람이었으며, 누군가의 회고대로 "해석학에서 진정으로 놀라운 통찰력을 가졌던" 사람이었다고 기억했다.

그는 짧은 투병 끝에 2015년 10월 3일 78세를 일기로 사망했다.

라고반이 천재라 불리는 이유

구체적이 되어라, 사례가 존재하는 곳이 바로 거기이기 때문이다. 두 개의 결과 모두 그가 25세가 되기 전이자 박사 학위를 받기 전에 얻어진 것이며, 각각은 문제를 진전시킨 것이 아니라 종결시켰다.

임베딩 정리가 더 깔끔하다. 그것은 "이 대상들은 얼마나 거칠어질 수 있는가?"라는 질문에 "전혀 거칠지 않다"고 답한다. 즉, 차원이 n인 모든 스타인 다양체는 C^{2n+1} 내부에 적절히 자리 잡는다. 그러한 형태의 결과들은 드물고 엄청나게 유용하다. 왜냐하면 그것들이 다른 모든 이들로 하여금 가능한 병리적 현상의 전체 범주에 대해 걱정을 멈추게 해주기 때문이다.

레비 문제는 더 어렵고 설명하기조차 더 어렵다. 오카와 그라우에르트는 매끄러운 경우들을 처리했었다; 남은 것은 특이점을 가진 복소 공간들이었으며, 바로 그곳이 표준 기계 장치가 위험해지는 지점이다. 유럽 최고의 해석학자들을 상대로, 대학원생 신분으로, 가장 퇴행적인 경우에서 50년 된 문제를 마무리 지은 것은 "천재"라는 단어가 묘사하기 위해 만들어진 바로 그 상황이다. 박사 학위도 없는 25세 청년에게 건네진 ICM(국제수학자대회)의 초청은 당시 내려진 전문가 사회 자체의 판결이다.

반대 사례는 질이 아니라 규모의 문제이다. 나라심한은 새로운 분야를 창조하거나 학과의 방향을 재조정하지 않았다. 그는 다른 이들이 정의한 분야 안에서 두 개의 어려운 문제를 풀었고, 그후 그 안에서 생산적이면서도 덜 화려한 50년을 보냈다. 그는 필즈상도, 울프상도, 아벨상도 받지 못했다. 그의 주요한 영예는 제네바 대학의 명예 학위였다. 그 주제가 무엇에 관한 것인지를 바꾸어 놓은 수학자들과 나란히 놓았을 때, 그의 경력은 초기에는 두 개의 웅장한 결과를 내놓고 그 후에는 길고 저명한 정체기를 보낸 예외적으로 강력한 해석학자의 경력이다. 즉 지도를 다시 그린 마음이라기보다는, 23세 때 다른 누구도 볼 수 없었던 것을 본 엄격하고 국소적인 의미에서의 천재였다.

유산

나라심한 임베딩 정들과 레비 문제의 그라우에르트-나라심한 해법은 그 주제가 가르쳐지는 모든 곳에서 가르쳐지는, 여러 복소 변수의 영구적인 고정물이다. 그의 교과서는 두 번째 유산이자 더 많은 사람들에게 닿은 유산이다. 세대의 수학자들이 그의 엄격한 산문 속에서 복소 해석학을 처음 만났다. 세 번째 유산은 제도적인 것이며 놓치기 쉽다. 그는 라신 신부와 K. 찬드라세카란이 1950년대와 1960년대에 배출한 코호트의 일원이었으며, 인도 수학을 가끔의 신동이 아닌 국제 문헌 속의 영구적인 존재로 만든 세대였다.