주세페 페아노: 수학이 의미하는 바를 말하게 만든 사람

1900년 8월, 파리에서 열린 국제 철학 회의에서 버트런드 러셀(Bertrand Russell)은 자그마한 이탈리아인 교수가 반대자들을 차례로 논파하는 모습을 지켜보았다. 러셀은 나중에 이렇게 기록했다. “나는 그가 항상 다른 누구보다 정확하며, 자신이 참여한 모든 논쟁에서 변함없이 우위를 점한다는 것을 관찰했다.” 러셀은 페아노의 논문 더미를 가지고 집으로 돌아가 시골에 은거하며 그나 그의 제자들이 쓴 모든 글을 조용히 연구했다. 현대 분석 철학은 대략 거기에서 시작된다.

스피네타의 농가

페아노는 1858년 8월 27일, 당시 사르데냐 왕국이었던 피에몬테의 쿠네오 근처 농가에서 태어났다. 부모는 농업 노동자였으며, 그는 스피네타의 마을 학교에 다니다가 매일 5킬로미터를 걸어 쿠네오로 통학했다. 탈출구는 가족을 통해 열렸다. 토리노의 신부이자 변호사인 외삼촌이 소년의 재능을 알아보고 1870년 그를 도시로 데려와 리체오 카보우르(Liceo Cavour)에서 정규 중등 교육을 받게 했다.

그는 1876년 토리노 대학교에 입학했다. 첫해에는 도비디오(D'Ovidio)에게 해석기하학과 대수를, 2년 차에는 안젤로 제노키(Angelo Genocchi)에게 미적분학을 배웠고, 3년 차가 되었을 때는 학부에서 유일하게 순수 수학을 공부하는 학생이었다. 다른 학생들은 모두 공학부로 전과했다. 그는 1880년 9월 29일에 박사 학위를 받았고, 대학은 그를 남아 있게 하여 처음에는 도비디오를, 나중에는 미적분학 석좌 교수였던 제노키를 보조하게 했다.

실수를 찾아낸 사람

페아노의 결정적인 특성은 거의 즉각적으로 드러났다. 1882년, 세레(Serret)의 표준 미적분 교재를 공부하던 중, 그는 곡면의 넓이에 대한 정의가 잘못되었음을 발견했다. 그는 이를 제노키에게 가져갔고, 슈바르츠(Schwarz)가 이미 알아챘다는 것을 알게 되었지만, 그 본능은 확립되었고 그를 떠나지 않았다. 그는 평생 다른 수학자들의 연구를 읽으며 추론이 조용히 실패하는 지점을 찾아내는 데 보냈다.

이것은 취미가 아니었다. 코라도 세그레(Corrado Segre)가 발견의 순간이 엄밀한 공식화보다 중요하다는 근거로 느슨한 진술을 옹호했을 때, 페아노의 답변은 신랄했다. “저자들이 예외를 알고 있거나 증명도 없는 명제를 연구에 의도적으로 사용하는 것은 수학 역사상 처음 있는 일이라고 생각합니다.” 그는 헤르만 로랑(Hermann Laurent)의 증명을 해체했고, 베로네세(Veronese)의 책을 리뷰하며 그 오류와 엄밀성 부족이 책의 가치를 없앤다고 결론지었다. 그는 꾸준히 적을 만들었다.

제노키의 건강이 악화되자 페아노가 미적분학 강의를 맡았고, 1884년 《미분과 적분 원리》(Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale)가 제노키의 이름으로 출판되었다. 제노키는 명예롭게도 공개적인 면책 조항을 발표했다. 그는 모든 공로가 “그 뛰어난 젊은이 주세페 페아노 박사”에게 있다고 말했다.

1889년과 1890년, 두 번의 폭탄 선언

1889년 페아노는 《산술의 원리, 새로운 방법으로 제시됨》(Arithmetices principia, nova methodo exposita)을 출판했다. 그 안에서 그는 여전히 자신의 이름이 붙은 공리들, 즉 자연수의 표준 공리화를 설정했으며, 시작점과 후속 연산, 귀납법으로부터 모든 산술을 도출했다. 이는 수리 논리학과 수학 기초론 역사에서 획기적인 사건이었다. 그는 이를 라틴어로 썼는데, 한 역사가는 이를 두고 순수한 낭만주의라고 평했다.

1년 후, 공간 채움 곡선(space-filling curve)이 등장했다. 칸토어(Cantor)는 단위 구간과 단위 정사각형이 같은 기수성을 가진다는 것을 보였고, 네토(Netto)는 그러한 대응이 동시에 일대일이면서 연속적일 수는 없음을 보였다. 페아노는 정사각형의 모든 점을 지나는 연속 곡선을 구성했는데, 연속성을 유지하기 위해 단사성을 포기했고, 그 과정에서 곡선이 무엇이며 차원이 무엇을 의미하는지에 대한 모든 편안한 직관을 파괴했다. 하우스도르프(Hausdorff)는 이를 집합론에서 가장 주목할 만한 사실 중 하나라고 불렀다. 이와 더불어 미분 방정식에 대한 페아노 존재 정리, 페아노-조르당(Peano–Jordan) 측도, 페아노 커널 정리가 있다.

그는 1889년 왕립 사관학교 일급 교수로 임명되었고, 1890년 토리노에서 무한소 미적분학의 비상임 교수가 되었으며, 1895년 정교수가 되었다.

수학을 위한 언어

1891년부터 페아노는 남은 생애를 바칠 프로젝트인 《수학 공식집》(Formulario Mathematico)에 매달렸다. 이는 모든 알려진 수학 공식과 정리를 그가 직접 고안한 표준 기호 표기법으로 담으려는 백과사전이었다. “그런 모음집은,” 그가 적었듯이, “보통 언어로는 길고 어려웠을 것이나, 수리 논리학의 표기법을 사용함으로써 현저하게 쉬워졌다.”

그 표기법이 진정한 업적이었다. 오늘날 수학자들이 매일 사용하는 원소, 합집합, 교집합, 존재를 위한 기호들은 페아노로부터 내려온 것이다. 1908년 최종판에는 4,200개의 공식과 정리가 포함되었으며, 모두 완전히 명시되었고 대부분 증명되었다. 거의 아무도 읽지 않았다.

주세페가 천재라 불리는 이유

그 특유의 재능은 일종의 무자비한 의미론적 명료함이었다. 모두가 받아들였던 수학 문장을 보고 어느 단어가 검증되지 않은 역할을 하는지 정확히 파악한 다음, 새로운 기호로 고치거나 반례로 폭파하는 능력이었다. 공간 채움 곡선과 산술 공리는 같은 재능이 정반대 방향을 가리키는 것으로, 하나는 잘못된 직관을 파괴하고, 다른 하나는 직관이 전혀 필요 없도록 기초를 재건하는 것이었다.

이 단어는 판단력을 인정받는 사람들에 의해 사용되었다. 러셀은 페아노의 표기법을 “내가 수년 동안 찾고 있던 논리적 분석 도구”라고 불렀다. 하우스도르프는 그 곡선을 집합론의 가장 주목할 만한 사실 중 하나라고 했다. 그의 전기 작가 케네디(Kennedy)는 그를 그 세기의 위대한 과학자 중 한 명으로 평가했다.

반대 사례도 예외적으로 명확하며, 페아노 자신의 추종자들도 이를 인정한다. 그의 독창성은 1900년 이전의 세월에 집중되어 있다. 그 이후로 그는 수학계가 거의 사용하지 않는 《공식집》과 인공 언어라는 두 프로젝트에 엄청난 에너지를 쏟아부었다. 그는 자신의 기호를 가르치는 데 너무 열중한 나머지 자신이 가르쳐야 할 미적분학을 소홀히 했고, 사관학교는 1901년에 그를 해고했다. 오직 토리노 대학의 제도적 자율성만이 그의 교수직을 지켜주었다. 그리고 페아노가 수리 논리학을 실무적 관행으로 확립했음에도 불구하고, 일반적으로 그 아버지라고 불리는 사람은 고틀로프 프레게(Gottlob Frege)이다. 페아노의 천재성은 실재했고 좁았으며, 소유자에 의해 부분적으로 낭비되었다.

문법 없는 라틴어

1903년, 그는 굴절이 없는 라틴어인 《라티노 시네 플렉시오네》(Latino sine flexione)를 발표했다. 어휘는 라틴어, 영어, 프랑스어, 독일어에서 가져왔으며 과학을 위한 보편적인 보조 언어를 의도했다. 1908년 1월 3일, 그는 토리노 과학 아카데미에서 보통의 라틴어로 시작하여 단순화에 단순화를 거듭해 새로운 언어로 끝나는 논문을 낭독했다. 그는 '이디오 뉘트랄'(Idiom Neutral)을 버리고 그를 지지한 '아카데미아 프로 인테를링구아'(Academia pro Interlingua)의 이사로 선출되었다. 그는 마지막 《공식집》을 이 언어로 썼지만, 그것은 독자 확보에 아무런 도움이 되지 않았다.

마지막 강의

그는 1887년 토리노 화가 루이지 크로시오(Luigi Crosio)의 딸 카롤라 크로시오(Carola Crosio)와 결혼했다. 영예는 꾸준히 쌓였다. 1891년 토리노 과학 아카데미, 1901년 성 마우리치오와 라자로 기사단장, 1905년 린체이 아카데미(Accademia dei Lincei)의 통신 회원, 1921년 이탈리아 왕관 사령관이 되었다. 그는 사망 전날까지 토리노에서 가르쳤으며, 1932년 4월 20일 73세의 나이로 치명적인 심장마비를 겪었다. 원소가 집합에 속한다고 쓰는 모든 학생은 그의 필체를 사용하고 있는 것이다.