어니스트 마이클: 나쁘게 선택하지 않고 선택하는 법
1956년, 워싱턴 대학교의 한 젊은 위상수학자가 선택에 관한 정리를 발표했다. 각 점에 단일 값이 아닌 허용 가능한 값의 전체 집합을 할당하는 규칙이 주어졌을 때, 각 집합에서 하나씩 선택하는 것은 언제 가능한가? 그것도 근처의 점들에 대해 근처의 선택을 얻을 수 있도록 연속적으로 선택하는 것은 언제 가능한가? 그가 제시한 답은 오늘날 경제학자가 균형의 존재를 증명하거나 제어 이론가가 시스템을 조종할 수 있음을 증명할 때마다 사용된다. 50년 후, 한 학술지는 이 이론에서 발전한 성과들에 대해 특집호를 발행하며 1956년을 "이 이론의 탄생의 해"라고 불렀다.
취리히, 베를린, 헤이그, 뉴욕
마이클은 1925년 8월 26일 취리히에서 아슈케나지 유대인 가정인 야코프와 에르나 마이클의 아들로 태어났다.
그 후 14년은 붕괴하는 대륙의 지도처럼 읽힌다. 가족은 1932년, 히틀러가 집권하기 전 해에 베를린을 떠났다. 즉, 그들은 상황을 일찍이 정확하게 읽고 있었다. 그들은 헤이그로 갔다. 1939년, 네덜란드가 침공까지 몇 달 남지 않았을 때, 그들은 다시 뉴욕으로 이주했다. 마이클은 나중에 스위스와 독일 혈통의 미국인으로 묘사되곤 했지만, 그 단어 하나하나는 떠남이라는 대가를 치르고 얻은 것이었다.
그는 15세에 호레이스 만 스쿨을 졸업했다. 코넬 대학교에 진학했으나 전쟁으로 학업이 중단되었다. 1944년부터 1946년까지 USS 콰잘레인 함에서 복무했고, 제대 후 1947년에 학사 학위를 받았다. 1948년 하버드 대학교에서 석사 학위를, 1951년 어빙 시걸의 지도하에 시카고 대학교에서 국소 곱셈 볼록 위상 대수에 관한 논문으로 박사 학위를 받았다.
시애틀에서의 41년
1952년, 마이클은 워싱턴 대학교 수학과에 합류했다. 1952년부터 1956년까지 조교수, 1956년부터 1960년까지 부교수, 1960년부터 1993년 은퇴할 때까지 교수로 재직했다. 첫 14년 동안 3개국을 경험했던 삶 속에서 한 학과에 41년간 머물렀다.
그는 다시 이주하는 대신 그 거점을 중심으로 여행했다. 고등연구소에서 4번의 객원 연구원 기간, 1973~74년 ETH 취리히(출생지로의 귀환)에서의 1년, 1978~79년 슈투트가르트 대학교에서의 1년이 그것이다.
선택 정리
1956년의 결과는 집합값 사상(대응 또는 다가 함수라고도 함)에 관한 것이다.
일반 함수는 입력당 하나의 출력을 준다. 집합값 사상은 전체 집합을 준다. 예를 들어 각 가격에 대해 기업이 최적으로 생산할 수 있는 수량의 집합, 또는 기계의 각 상태에 대해 허용되는 제어의 집합이다. 선택은 각 집합에서 하나의 요소를 고르는 일반 함수이다. 선택 공리를 받아들이면 선택은 항상 존재하지만, 일반적으로 매우 불연속적이며, 불연속적인 선택은 실제 목적에는 쓸모가 없다.
마이클의 선택 정리는 연속적인 선택이 존재하기 위한 조건을 제시한다. 대략적으로 정의역이 파라콤팩트이고 사상이 닫힌 볼록값을 갖는 하반연속이어야 한다는 것이다. 이 정리는 현대 해석학의 많은 부분이 작동하는 이유이다. 수리경제학의 고정점 논법, 미분 포함 이론, 최적화 및 제어 이론은 모두 어떤 단계에서 움직이는 집합에서 연속적으로 선택할 수 있다는 점에 의존한다.
그는 이 정리에 머물지 않았다. 그는 그 주변에 연속 선택 이론 전체를 구축했으며, 1956년 논문은 그 분야의 기원으로 정당하게 평가받는다.
마이클 선
그의 또 다른 유명한 구성은 반례이며, 일반 위상수학에서 가장 많이 인용되는 것 중 하나이다.
위상수학자들은 오랫동안 성질이 곱 공간에서 잘 작동하기를 바랐다. 두 공간이 좋으면 그 곱도 좋아야 한다는 생각이다. 마이클 선은 특정하고 중요한 페어링에서 그 희망을 꺾어버린다. 그것은 파라콤팩트 공간이지만, 무리수 공간과의 곱 공간은 정규 공간조차 아니다.
이러한 질의 반례는 수학에서 특별한 역할을 한다. 그것들은 가능성의 경계를 표시하고, 후속 연구자들이 잘못된 증명을 시도하며 시간을 낭비하는 것을 막아준다. 마이클의 이름은 마이클 곱 위상과 닫힌 부분 공간에 관한 결과에도 붙어 있으며, 그는 일반 위상수학 분야에서 100편 이상의 논문을 Transactions, Annals, Duke 등에 발표하여 부분 집합의 초공간, 파라콤팩트성, 연속 선택, 정규 공간의 거동에 대해 논했다.
어니스트가 천재라 불리는 이유
가장 강력한 증거는 특정하고 드문 종류의 지속성이다. 1956년에 발표된 단 하나의 논문이 50년 후에도 여전히 새로운 수학을 만들어내고 있었기에, Topology and Its Applications 저널이 기념 특집호를 발행했을 정도이다. 이런 성과는 매우 드물다.
관련된 인지적 자질은 정확히 명명할 가치가 있다. 왜냐하면 그것은 단순한 계산 능력이 아니기 때문이다. 마이클의 재능은 정확한 가설을 찾는 데 있었다. 바람직한 것이 참이 되는 최소한의 조건을 찾고, 그것을 완화했을 때 무슨 일이 일어나는지 보여주는 날카로운 예시와 결합하는 능력이다. 선택 정리와 마이클 선은 반대 방향을 향한 같은 재능이다. 하나는 땅이 단단한 곳을 지도화하고, 다른 하나는 그것이 무너지는 곳을 정확히 표시한다. 이런 유형의 수학자는 문제 해결사보다 희귀하며, 분야의 지리를 정의하기 때문에 분야의 장기적인 건전성에 더 유익하다.
솔직한 반론은 마이클의 유명한 업적은 표면적이 좁다는 점이다. 20세기 후반의 일반 위상수학은 그 학문의 중심지가 아니었다. 그의 가장 큰 영예는 2012년 미국 수학회 펠로우 첫해 클래스에 포함된 것이지만, 이는 정리 발표 56년 후에 온 대규모의 집단적 구분이다. 그는 울프상이나 스틸상을 받지 않았고, 접근 가능한 정보원에 기록된 국립 아카데미 회원 자격도 없다. 그를 천재라고 부른 동료의 기록도 없다. 선택 정리의 명성 대부분은 그 위상수학에 전혀 관여하지 않고 보조 정리로 인용하는 경제학자나 제어 이론가 같은 하류 사용자들에게서 빌려온 것이다. 공정한 평가는 마이클이 매우 정확한 수학자였으며, 자신의 분야의 유행을 살아남을 만큼 정확하게 옳은 하나의 정리를 찾아냈다는 것이다.
유산
마이클은 1993년에 은퇴했고, 2013년 4월 29일 시애틀에서 87세의 나이로 사망했다.
이 정리는 집합값 해석학에 관한 모든 대학원 교재에 실려 있다. 마이클 선은 곱 공간을 논하는 모든 위상수학 과정에 실려 있다. 두 경우 모두 저자가 1932년 베를린을 떠나 침공 전에 바다를 건너고, 태평양에서 복무한 뒤, 시애틀의 한 방에 41년간 앉아 언제 잘 선택하는 것이 가능한지 정확히 밝혀낸 유대인 소년이었다는 사실은 언급되지 않은 채 대부분 가르쳐진다.
