Carl Gustav Jacob Jacobi

Carl Gustav Jacob Jacobi는 타원 함수, 동역학, 미분 방정식, 행렬식 및 수론에 근본적인 기여를 한 독일 수학자였습니다. 

Jacobi는 독일 대학에서 교수로 임명된 최초의 유대인 수학자였습니다.

전기

Jacobi는 1804년 12월 10일 포츠담에서 아슈케나지 유대인 가정에서 태어났습니다. 그는 은행가 Simon Jacobi의 네 자녀 중 둘째였습니다. 그의 형 Moritz von Jacobi도 나중에 공학자이자 물리학자로 알려지게 되었습니다. 그는 처음에 고전 언어와 수학의 기초를 가르친 삼촌 Lehman에게 가정교육을 받았습니다. 1816년, 12세의 Jacobi는 포츠담 김나지움에 입학했으며, 여기서 학생들은 고전 언어, 역사, 문헌학, 수학, 과학 등 모든 표준 과목을 배웠습니다. 삼촌으로부터 받은 훌륭한 교육과 자신의 뛰어난 능력 덕분에 6개월도 채 되지 않아 Jacobi는 어린 나이에도 불구하고 고학년으로 승진했습니다. 그러나 대학이 16세 미만의 학생을 받지 않았기 때문에 그는 1821년까지 고학년 반에 머물러야 했습니다. 이 기간 동안 그는 라틴어, 그리스어, 문헌학, 역사, 수학을 포함한 모든 과목에 관심을 보이며 지식을 높였습니다. 이 시기에 그는 또한 5차 방정식을 근의 공식으로 풀려는 시도를 포함한 첫 번째 연구를 시도했습니다.

1821년 Jacobi는 베를린 대학교에 입학하여 처음에는 문헌학과 수학에 대한 열정을 나누어 가졌습니다. 문헌학에서는 Böckh의 세미나에 참여하여 자신의 재능으로 교수의 주목을 끌었습니다. 당시 베를린 대학교의 수학 수준이 낮아 수학 수업이 너무 초등적이었기 때문에 Jacobi는 대학에서 많은 수학 강좌를 따르지 않았습니다. 그러나 그는 Euler, Lagrange, Laplace의 더 고급 저작들을 개인적으로 계속 공부했습니다. 1823년까지 그는 경쟁하는 관심 사이에서 결정을 내려야 함을 깨달았고 모든 관심을 수학에 집중하기로 선택했습니다. 같은 해에 그는 중등학교 교사 자격을 얻었고 베를린의 Joachimsthal 김나지움에서 직위를 제안받았습니다. Jacobi는 대신 대학 직책을 향해 계속 나아가기로 결정했습니다. 1825년 그는 Enno Dirksen이 이끄는 위원회 앞에서 방어한 유리 분수의 부분 분수 분해에 대한 논문으로 철학 박사 학위를 취득했습니다. 그는 즉시 교수 자격 논문을 제출했고 동시에 기독교로 개종했습니다. 이제 대학 강의 자격을 갖춘 21세의 Jacobi는 1825/26년에 베를린 대학교에서 곡선과 표면 이론에 대해 강의했습니다.

1827년 Jacobi는 Königsberg 대학교의 수학 교수가 되었고, 1829년에는 정년 교수가 되어 1842년까지 의자를 맡았습니다. 그는 1843년에 과로로 인한 신경쇠약을 겪었습니다. 그 후 건강을 회복하기 위해 몇 개월 동안 이탈리아를 방문했습니다. 귀국 후 그는 사망할 때까지 왕실 연금생으로 베를린에서 살았습니다. 1848년 혁명 중에 Jacobi는 정치적으로 관여했고 자유주의 클럽을 대신하여 국회의원 입후보를 성공하지 못했습니다. 이는 혁명이 진압된 후 왕실 보조금이 삭감되었습니다. 그러나 그의 명성과 평판이 대단해서 곧 회복되었습니다. 1836년 그는 스웨덴 왕립 과학 아카데미의 외국인 회원으로 선출되었습니다.

Jacobi는 1851년 천연두 감염으로 사망했습니다. 그의 무덤은 베를린 크로이츠베르크 지역의 묘지, Friedhof I der Dreifaltigkeits-Kirchengemeinde 61 Baruther Street에 보존되어 있습니다. 그의 무덤은 천문학자 Johann Encke의 무덤 근처에 있습니다. 달의 Jacobi 분화구는 그의 이름을 따서 명명되었습니다.

과학적 기여

Jacobi의 가장 위대한 업적 중 하나는 타원 함수 이론과 타원 세타 함수와의 관계였습니다. 이는 1829년의 위대한 저작 Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum에서 발전되었고, 나중에 Crelle's Journal의 논문에서도 발전되었습니다. 세타 함수는 주기적 및 준주기적 흐름의 역 문제에서의 역할 때문에 수학 물리학에서 매우 중요합니다. 운동 방정식은 잘 알려진 진자, Euler 탑, 중력장의 대칭 Lagrange 탑, 중력장의 중심 Kepler 문제 행성 운동의 경우에서 Jacobi의 타원 함수로 적분할 수 있습니다.

그는 또한 미분 방정식 연구와 고전 역학, 특히 Hamilton-Jacobi 이론에 근본적인 기여를 했습니다.

Jacobi의 특별한 힘이 주로 나타난 것은 대수적 전개에서였고, 그는 1826년 이후 Crelle's Journal 및 다른 곳의 긴 논문 목록으로 보여지는 수학의 많은 영역에서 중요한 기여를 했습니다. 그는 학생들에게 연구 주제를 찾을 때 '항상 역함수를 취하라' '만 뮤스 임머 움케렌'이라고 말했다고 알려져 있으며, 이는 알려진 결과를 역으로 하면 새로운 연구 분야를 열 수 있다는 그의 믿음을 반영합니다. 예를 들어 타원 적분을 역으로 하고 타원 및 세타 함수의 특성에 초점을 맞추는 것입니다.

1835년 논문에서 Jacobi는 주기함수를 포함한 타원 함수를 분류하는 다음의 기본 결과를 증명했습니다: 만약 한 변수의 단일값 함수가 복수 주기적이면, 그러한 함수는 두 개 이상의 주기를 가질 수 없으며, 주기의 비는 실수가 될 수 없습니다. 그는 함수 방정식과 Jacobi 삼중곱 공식을 포함한 세타 함수의 많은 기본 성질뿐만 아니라 q-급수 및 초기하 급수에 대한 많은 다른 결과들을 발견했습니다.

1854년 Weierstrass가 초타원 Abel 사상에 대한 Jacobi 역전 문제의 해법을 위해서는 초타원 세타 함수와 나중에 임의의 종수의 대수 곡선에 대한 일반 Riemann 세타 함수의 도입이 필요했습니다. 주기의 격자에 의해 종수 g와 관련된 복소 토러스를 Jacobian 다양체라고 합니다. 이 역함수 방법과 Weierstrass 및 Riemann에 의한 이후의 임의의 대수 곡선으로의 확장은 타원 적분과 Jacobi 또는 Weierstrass 타원 함수 사이의 관계의 고차 종수 일반화로 볼 수 있습니다.

Jacobi는 타원 함수를 수론에 처음 적용했으며, 예를 들어 Fermat의 두 제곱 정리와 Lagrange의 네 제곱 정리, 그리고 6과 8 제곱에 대한 유사한 결과들을 증명했습니다. 수론에서의 그의 다른 저작은 C. F. Gauss의 저작을 계속했습니다: 이차 상호법칙의 새로운 증명과 Jacobi 기호의 도입; 고차 상호법칙에 대한 기여, 연분수 조사, 그리고 Jacobi 합의 발명입니다.

그는 또한 행렬식 이론의 초기 창립자 중 한 명이었습니다. 특히 그는 n개의 독립 변수의 n개 함수로부터 형성된 n2개의 편미분으로부터 Jacobian 행렬식을 발명했으며, 이는 중적분에서 변수 변환에 중요한 역할을 하고 많은 분석 조사에서 중요합니다. 1841년 그는 Legendre의 편미분 ∂ 표기법을 다시 도입했으며, 이는 표준이 되었습니다.

그는 이제 Schur 다항식으로 알려진 대칭 다항식을 소개하고 연구한 최초의 사람 중 한 명이었으며, 이들을 위해 소위 쌍대교대 공식을 제시했으며, 이는 Weyl 문자 공식의 특수한 경우이고, Jacobi-Trudi 항등식을 유도했습니다. 그는 또한 Grassmannian에 대한 Plucker 관계의 기초가 되는 행렬식에 대한 Desnanot-Jacobi 공식을 발견했습니다.

벡터 필드, Lie 이론, Hamiltonian 역학 및 연산자 대수를 연구하는 학생들은 종종 Jacobi 항등식을 만나게 되며, 이는 Lie 괄호 연산의 결합성의 유사 개념입니다.

행성 이론과 다른 특정 동역학적 문제들도 시간이 지남에 따라 그의 관심을 차지했습니다. 천체 역학에 기여하면서 그는 1836년 항성 좌표계를 위한 Jacobi 적분을 도입했습니다. 그의 마지막 승수 이론은 Alfred Clebsch가 편집한 Vorlesungen über Dynamik 1866에서 다루어집니다.

Carl Gustav는 많은 원고를 남겼으며, 그 일부는 Crelle's Journal에서 간헐적으로 출판되었습니다. 그의 다른 저작으로는 Commentatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem 1832, Canon arithmeticus 1839, Opuscula mathematica 1846–1857이 있습니다. 그의 Gesammelte Werke 1881–1891은 베를린 아카데미에 의해 출판되었습니다.

재미있는 사실

Carl Gustav의 이름은 그의 라틴 책에서 Carolus Gustavus Iacobus Iacobi로 표기되기도 하며, 그의 이름은 때때로 Karl이라고 주어집니다.