유클리드의 평행선 공준
평행선 공준은 '한 직선과 그 위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 점을 지나면서 주어진 직선과 평행한 직선은 단 하나 존재한다'고 명시합니다. 이는 매우 당연해 보이지만, 유클리드의 다른 공준들과 달리 자명한 진리는 아닙니다. 2,000년 동안 수학자들은 이를 다른 공리로부터 유도할 수 있다고 가정했으나, 사실은 그렇지 못했습니다.
로바쳅스키의 쌍곡 기하학
로바쳅스키(1829년)와 보이여(1832년)는 주어진 점을 지나는 평행선이 무수히 많다고 가정하면 쌍곡 기하학이라는 일관된 체계를 얻을 수 있음을 각각 독자적으로 증명했습니다. 쌍곡 공간에서 삼각형 내각의 합은 180°보다 작으며, 기하학은 음의 곡률을 가집니다(안장 모양의 표면처럼).
리만의 확장
베른하르트 리만(1854년)은 이를 더욱 일반화했습니다. 평행선이 아예 존재하지 않는 경우(대원이 항상 교차하는 구면 기하학)도 가능하며, 기하학은 3차원 공간에서도 평평할 필요가 없으며 공간 자체가 휘어질 수 있다는 것입니다. 이는 60년 후 아인슈타인이 일반 상대성 이론에서 사용한 수학적 틀이 되었습니다.
거부와 재평가
로바쳅스키는 1829년 연구 결과를 발표했지만 조롱과 무시를 당했습니다. 보이여의 아버지는 이 연구를 가우스에게 보냈지만, 가우스는 이미 수년 전에 다 생각했던 일이라고 답했습니다(아마 사실이었겠지만 발표는 하지 않았습니다). 로바쳅스키는 자신의 연구가 인정받는 것을 보지 못하고 세상을 떠났습니다. 리만의 일반화와 궁극적으로 공간이 실제로 휘어져 있다는 아인슈타인의 증명을 통해 그의 연구는 비로소 재평가되었습니다.
자주 묻는 질문
비유클리드 기하학이란 무엇인가요?
비유클리드 기하학은 유클리드의 평행선 공준을 거부하는 모든 기하학 체계를 말합니다. 쌍곡 기하학(로바쳅스키, 보이여)에서는 주어진 점을 지나는 평행선이 여러 개 존재하며, 구면 기하학(리만)에서는 하나도 존재하지 않습니다. 두 체계 모두 내부적으로 일관성이 있으며 실제 물리적 공간을 설명합니다.
누가 비유클리드 기하학을 발명했나요?
니콜라이 로바쳅스키(러시아, 1829년)와 야노시 보이여(헝가리, 1832년)가 독자적으로 쌍곡 비유클리드 기하학을 발견했습니다. 가우스도 나중에 자신이 독자적으로 발견했다고 주장했으나 발표하지는 않았습니다. 1854년 리만이 이 모든 것을 일반화했습니다.
비유클리드 기하학은 아인슈타인과 어떤 관계가 있나요?
아인슈타인의 일반 상대성 이론(1915년)은 중력을 4차원 시공간의 곡률로 묘사하기 위해 리만 기하학을 사용합니다. 질량을 가진 물체는 공간의 기하학적 구조를 휘게 하며, 우리가 중력으로 느끼는 것은 휜 측지선을 따라 움직이는 운동입니다. 비유클리드 기하학이 없었다면 일반 상대성 이론은 수학적 언어를 갖지 못했을 것입니다.