정리의 내용
페르마의 마지막 정리는 다음과 같다: n > 2인 정수에 대하여 xⁿ + yⁿ = zⁿ을 만족하는 양의 정수 x, y, z는 존재하지 않는다. n = 2일 때는 무수히 많은 해가 존재한다(피타고라스의 세 수: 3² + 4² = 5² 등). n ≥ 3일 때는 해가 없다고 주장한다. 진술은 간단하지만 증명하기는 매우 어렵다.
3세기에 걸친 시도
오일러는 1770년에 n = 3인 경우를 증명했다. 디리클레와 르장드르는 1825년에 n = 5인 경우를 증명했다. 라메는 1839년에 n = 7인 경우를 증명했다. 쿠머는 1850년에 모든 '정칙 소수'에 대해 정리를 증명했다. 1980년대까지 페르마의 마지막 정리는 125,000까지의 모든 n에 대해 컴퓨터로 검증되었으나, 계산은 증명이 아니다. 일반적인 경우는 누구도 해결하지 못했다.
와일즈의 증명
앤드루 와일즈는 10살 때 이 문제를 읽은 이후 페르마에 집착해 왔다. 1986년, 켄 리벳은 다니야마-시무라 추측이 페르마의 마지막 정리를 함의함을 증명했다. 즉, 모든 타원곡선이 모듈러라면 페르마의 마지막 정리는 참이다. 와일즈는 반안정 타원곡선에 대한 다니야마-시무라 추측을 증명하기 위해 7년간 비밀리에 연구했다. 1993년 6월 증명을 발표했으나 허점이 발견되었다. 14개월의 추가 연구 끝에 1995년 완벽한 증명이 완성되었다. 130페이지에 달하는 최첨단 정수론이었다. 페르마의 증명을 적기에는 여백이 실제로 너무 좁았는데, 왜냐하면 그의 증명은 거의 확실히 존재하지 않았기 때문이다.
자주 묻는 질문
페르마의 마지막 정리란 무엇인가?
페르마의 마지막 정리는 n > 2인 정수에 대해 xⁿ + yⁿ = zⁿ을 만족하는 양의 정수 해는 없다는 것이다. n = 2일 때는 해가 무수히 많다(3, 4, 5와 같은 피타고라스의 세 수). 페르마는 1637년에 증명을 가지고 있다고 주장했으나 기록하지 않았다. 앤드루 와일즈가 1995년에 타원곡선과 모듈러 형식을 사용하여 증명했는데, 이는 페르마 시대에는 존재하지 않았던 수학이다.
페르마가 정말로 증명을 가지고 있었을까?
거의 확실히 아니다. 와일즈의 증명은 페르마가 알 수 없었던 20세기 수학(타원곡선, 모듈러 형식, 갈루아 표현)을 사용한다. 특수한 경우(n=3, n=5, n=7)의 증명조차 페르마 시대를 넘어서는 상당한 혁신을 필요로 했다. 페르마가 잘못된 논증을 가지고 제대로 확인하지 않았거나, 더 단순한 관련 결과와 혼동했을 것이라는 것이 중론이다.
앤드루 와일즈는 어떻게 페르마의 마지막 정리를 증명했는가?
와일즈는 반안정 타원곡선에 대한 다니야마-시무라 추측을 증명했다. 즉, 모든 타원곡선은 모듈러 형식에 대응된다는 것이다. 켄 리벳은 이전에 이것이 페르마의 마지막 정리를 함의함을 증명했었다. 와일즈는 프린스턴에서 7년간 비밀리에 연구했고, 1993년에 증명을 발표(허점이 있었음)한 뒤, 1994년에 수정된 증명을 완성하여 1995년에 130페이지 분량으로 출판했다.