オックスフォード大学の大学院生であった1982年に画期的な定理を証明したサイモン・ドナルドソン（Simon Donaldson）は、4次元多様体の研究を根本から変えた。彼の研究はヤン＝ミルズ・ゲージ理論を用いて滑らかな多様体のトポロジーに厳格な制約を課し、それらを純粋なトポロジー的対象と区別し、多様でエキゾチックな滑らかな構造の存在を明らかにした。
学術的基盤
1957年にイギリスのケンブリッジで生まれたドナルドソンは、ケンブリッジ大学ペンブルック・カレッジで学部教育を受け、1979年に卒業した。その後、オックスフォード大学ウースター・カレッジで大学院研究に進んだ。当初はナイジェル・ヒッチン（Nigel Hitchin）の下で働き、後にマイケル・アティヤ（Michael Atiyah）の指導を受け、1983年に博士号（DPhil）を取得した。キャリア初期には、オール・ソウルズ・カレッジのジュニア・リサーチ・フェローや、プリンストンの高等研究所の客員研究員を務めた。
ゲージ理論とトポロジー
ドナルドソンの研究は、数学的解析、特に楕円型偏微分方程式を幾何学に応用したものである。1983年の論文「Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds」は、量子場理論の手法をトポロジーに導入した。ゲージ理論にインスタントン解を適用することで、多くのトポロジー的4次元多様体には滑らかな構造が存在しないことを示した。この研究はドナルドソン不変量を生み出し、単一のトポロジー的空間が無限の微分可能なバリエーションを許容するエキゾチックな構造を特定した。
キャリアと専門的発展
オックスフォードで数学のウォリス教授を務めた後、ドナルドソンは1998年に純粋数学の教授としてインペリアル・カレッジ・ロンドンに移籍した。2014年にはニューヨーク州立大学ストーニーブルック校のサイモンズ幾何学物理学センターに加わり、現在は名誉教授の地位にある。キャリアを通じて、王立協会、フランス科学アカデミー、全米科学アカデミーなど、多くの権威ある機関の会員に選出されている。
複素幾何学と現代の不変量
4次元トポロジーを超えて、ドナルドソンはケーラー幾何学にも多大な貢献をしている。彼の研究には、非特異射影代数多様体上の安定な正則ベクトル束がエルミート・アインシュタイン計量を許容することの証明が含まれる。近年では、陳秀雄（Xiuxiong Chen）や孫崧（Song Sun）と共同で、ケーラー・アインシュタイン計量の存在問題に取り組んだ。これは代数幾何学的な安定性と定スカラー曲率の関係を探求する複素微分幾何学の中心的な問題である。
基本情報
- 生年: 1957年、ケンブリッジ - 国籍: イギリス - 博士号: オックスフォード大学 (1983年) - 主な所属: インペリアル・カレッジ・ロンドン - ナイト爵: 2012年新年の叙勲 - フィールズ賞: 1986年 - ウルフ賞数学部門: 2020年 - ブレイクスルー賞数学部門: 2014年
読者からの質問
### ドナルドソンの定理とは何ですか？
滑らかで閉じた単連結な4次元多様体の交叉形式が定符号であれば、それは整数上で対角化可能でなければならないという定理である。
### ドナルドソン不変量とは何ですか？
ゲージ理論から導出される多項式不変量であり、4次元多様体の基礎となる滑らかな構造に対して敏感なものである。
