サハロン・シェラハ：誰よりも多くの論文を発表した論理学者

多くの数学者は、キャリアを通じて100本の論文を発表すれば十分な生産性と見なす。サハロン・シェラハ（Saharon Shelah）は1969年以来、1 100本以上の査読付き論文を発表してきた。これは一人の人間による数千もの数学的貢献であり、そのペースからして、ほぼ全ての集計において存命中で最も多作な数学者とされている。仮にその内容が日常的なものであれば、その量だけで好奇心の対象となるだろうが、そうではない。シェラハの研究は数十年来の未解決問題を解決し、集合論の分野全体を創出し、多くの論理学者が永久に決定不能であると結論付けていた領域において、予想外の構造を繰り返し発見してきた。

詩人の息子、幾何学への傾倒

シェラハは1945年7月3日、当時イギリス委任統治領だったエルサレムで生まれた。父はヘブライ語の詩人であり、カナン派の政治活動家としても知られたヨナタン・ラトッシュ（本名ウリエル・シェラフ）であり、シェラハは珍しい知的家庭環境で育った。シェラハは当初、物理学や生物学に関心を寄せていたが、9年生（中学3年生相当）の幾何学の授業で方向性が変わり、15歳の時にアブラハム・フレンケル（Abraham Fraenkel）の『数学入門（An Introduction to Mathematics）』を読んだことが決定打となった。本人の回想によれば、その時点で数学者になることを決意していたという。1964年にテルアビブ大学で学士号を取得する一方で、1967年までイスラエル国防軍に勤務し、その後ヘブライ大学で修士号を取得。1969年にはマイケル・ラビン（Michael Oser Rabin）の指導の下で博士号を取得した。その博士論文のテーマである安定理論は、後に彼が再編することになる分野の礎となった。

モーリーの問題の解決

プリンストン大学（1969-70年）とカリフォルニア大学ロサンゼルス校（UCLA、1970-71年）での短いポスドク期間を経て、シェラハはヘブライ大学に定住し、1974年に教授に昇進、1978年からは同大学の数理論理学講座を担当している。これは1986年以降のラトガース大学での卓越した客員教授職と並行して現在も保持している役職である。彼の最初の大きな功績は、モデル理論におけるモーリーの問題（特定のサイズの非同型モデルを一次理論がいくつ持ち得るかという問い）を、分類理論（安定理論）と呼ばれる枠組みを構築することで解決したことである。これは数学的理論をその内部複雑性に従って分類するための包括的な体系である。この研究から発展した1978年の著作『Classification Theory and the Number of Non-Isomorphic Models』は、現代モデル理論の基礎文献となった。

プロパー・フォーシングと連続体の限界

集合論において、シェラハは「プロパー・フォーシング（proper forcing）」を開発した。これはポール・コーエン（Paul Cohen）が連続体仮説の独立性を証明するために用いたフォーシング法を反復させる手法であり、それ以前の反復的構成を制限していた技術的崩壊を回避できるものだった。プロパー・フォーシングは分野全体の標準ツールとなり、集合論研究者が単純なフォーシング法では達成できない繊細に制御された特性を持つモデルを構築するために使用されるようになった。これに基づき、シェラハはPCF理論（Possible Cofinalities：可能な共終数）を創出した。これは、連続体の値のような基数演算の基本的な問いが標準公理系（ZFC）では形式的に決定不能であっても、基数指数化に関する他の深く証明可能な定理が存在することを示したものである。本質的に、多くの者が証明可能な法則に縛られない純粋な自由だと想定していた集合論の領域の中に、確固たる数学的構造を見出したのである。

解決された具体的問題のリスト

これら二つの大きな枠組みを超えて、シェラハは数理論理学内外において個々の有名な未解決問題を解決してきた驚異的な実績がある。例えば、ホワイトヘッドの問題（特定の拡張特性を持つ全てのアーベル群は自由であるか）がZFCから独立していること、つまり集合論の標準公理からは証明も反証もできないことを証明した。また、全ての真部分群が可算である非可算群である「ジョンソン群（Jónsson group）」を構成し、長年の存在問題を解決した。組合せ論におけるファン・デル・ヴェルデンの数の原始再帰的上限を与え、社会選択理論におけるアローの不可能性定理を拡張した。2010年代からはマリアンテ・マリアリス（Maryanthe Malliaris）と共に、一次理論の複雑さに関するケイスラーの順序についての50年来の未解決問題を解決し、この功績により二人は2017年にハウスドルフ・メダルを授与された。

受賞歴

シェラハの受賞歴は彼の業績と密接に関連している。1977年に最初のエルデシュ賞を受賞し、その後、ロスチャイルド賞（1982年）、カープ賞（1983年）、ジョージ・ポリア賞（1992年）、イスラエル賞（1998年）、ボヤイ賞（2000年）、ウルフ賞数学部門（2001年。フィールズ賞やアーベル賞に次ぐ分野最高峰の賞の一つ）、EMET賞（2011年）、AMSルロイ・P・スティール賞（2013年）、マリアリスと共同受賞したハウスドルフ・メダル（2017年）、そしてロルフ・ショック賞論理学・哲学部門（2018年）を受賞している。国際数学者会議では1974年、1983年、1986年の3回、招待講演を行っている。

個人的な喪失

シェラハの家族は中東の暴力の直接的な犠牲となった。判事であった兄のハンマン・シェラハは、1985年のラス・ブルカ虐殺事件において、シナイ半島でイスラエル人観光客にエジプト人兵士が発砲した際、妻と娘と共に殺害された。シェラハはヤエルと結婚しており、3人の子供がいる。

なぜサハロン・シェラハが天才と呼ばれるのか

シェラハが数学の天才と呼ばれる根拠は、単一の壮大な証明よりも、圧倒的な生産性と概念的射程の比類なき組み合わせにある。分類理論単独でモデル理論家の理論構造に対する考え方を再編し、プロパー・フォーシングは今や集合論の大学院生全員が学ぶルーチンツールとなり、PCF理論はコーエンやゲーデルの独立性結果に従って法則がないと見なされていた基数演算の領域に証明可能な構造を見出した。これら三つの独立した貢献のそれぞれが、一つの強力なキャリアを定義するに十分である。1 100本を超える論文というその膨大な出版量は、現役の数学者の中では異例であり、真剣な議論を呼んでいる。一部の同僚は、彼の最も引用され影響力のある結果が単一の生産期に集中するのではなく50年間にわたっていることから、真の洞察が持続的かつ並外れたペースで続いている証拠だと見なしている。その一方で、シェラハの研究は専門家でさえ検証が困難であることで有名という反論もある。論文は密度が高く、記号が多用され、経験豊かなモデル理論家や集合論研究者でさえ一行ごとのチェックが困難だと評する圧縮されたスタイルで書かれているため、一部の複雑な証明については独立した検証が追いつくまでコミュニティの信頼が得られるのが遅れたこともある。また、彼の生産量は深さにおいても必然的にばらつきがある。1 100本全ての論文が分類理論やPCFの研究と同等の重みを持つわけではなく、コーパスの一部は完全に新しい概念的な飛躍というよりは、既に構築した枠組みの技術的改良や応用で構成されている。フィールズ賞（主な結果が出た頃には40歳を超えていたため対象外）やアーベル賞は受賞しておらず、ウルフ賞の受賞にもかかわらず、数学界における最高峰の栄誉からは手が届かない位置にある。

遺産

80歳を超えてもなお、シェラハはヘブライ大学とラトガース大学で活動を続ける数学者であり、歴史上ほとんど例を見ないペースで論文を発表し続けている。分類理論とPCF理論は現在、モデル理論と集合論のカリキュラムにおいて恒久的な構成要素となっており、何世代もの論理学者が彼が創始した枠組みを拡張することでキャリアを築いてきた。その業績の規模は、この分野が完全に吸収し評価するまでにさらに数十年を要するかもしれない。