ラガヴァン・ナラシムハン (Raghavan Narasimhan): レヴィ問題を解決した男

1962年、国際数学者会議 (International Congress of Mathematicians) は、ある若いインド人解析学者を招いて講演を行わせた。彼は25歳であり、博士号の取得はさらに1年後であった。この招待は礼儀によるものではなかった。その2年前、ラガヴァン・ナラシムハン (Raghavan Narasimhan) は、半世紀にわたって未解決でありヨーロッパの優秀な解析学者世代を悩ませてきた複素空間におけるレヴィ問題を解決していたからである。彼はその後の50年間をシカゴで過ごし、誰もがその主題を学んだ教科書を執筆した。

マドラスとラシーヌ神父

彼は1937年8月31日にマドラスで生まれた。彼の数学的形成はそこのロヨラ・カレッジ (Loyola College) で始まり、1957年に学士号を取得した。そこで彼は、ラマヌジャンを輩出するも組織的インフラに乏しかった国にフランス流解析学を持ち込んだフランス人イエズス会士ラシーヌ神父 (Father Racine) のも<bos>3で学んだ。ナラシムハンはその後ボンベイへ赴き、タータ・インスティテュート (Tata Institute) の周辺に身を置き、数論学者K・チャンドラセカラン (K. Chandrasekharan) の指導のもと、1963年にボンベイ大学 (Bombay University) から博士号を取得した。

この年表は立ち止まって考える価値がある。博士号は1963年に取得された。定理は1960年と1961年に得られた。

レヴィ問題

1変数の複素解析は美しい硬直性を持つ主題である。円板上の正則関数は、驚くほどわずかなデータによって決定される。複数の変数になると、この硬直性は奇妙なものになる。複素空間のある領域では、その上のすべての正則関数がより大きな領域へと自動的に拡張されるという性質を持つ。つまり、その領域は自身の関数の自然な故郷ではないと言える。自身の自然な故郷である領域は正則性領域 (domain of holomorphy) と呼ばれ、1910年にE・E・レヴィ (E. E. Levi) はそれらがどれであるかを問い、境界に関する「擬凸性 (pseudoconvexity)」と呼ばれる幾何学的条件がその答えであると予想した。

この問題は残酷なほど困難であることが判明した。清き岡 (Kiyoshi Oka) は1940年代から1950年代にかけて複素ユークリッド空間内の領域についてついにこれを解決した。その後、ハンス・グラウエルート (Hans Grauert) が複素多様体を取り扱った。残されたのは、一般的かつ最も繊細な場合である複素空間であった。複素空間には特異点、すなわち空間が局所的にC^nの綺麗なパッチではなく、ピンチ状や交差状になっている点が存在することが許容される。特異点は道具を壊してしまう。1961年の『マテマティシェ・アンナーレン (Mathematische Annalen)』誌上の論文「The Levi problem for complex spaces」とその続編におけるナラシムハンの論文は、その場合を解決した。この結果は現在でもグラウエルート・ナラシムハン (Grauert–Narasimhan) として引用されており、最後かつ最も困難なステップが彼のものあったことを学問分野が記録する方法となっている。

埋め込み

彼のもう一つの名を冠した定理は、それより先の1960年に、『アメリカン・ジャーナル・オブ・マスマティックス (American Journal of Mathematics)』誌上の「Imbedding of Holomorphically Complete Complex Spaces」と題された論文で発表された。シュタイン多様体 (Stein manifold) は、自身の点を分離するのに十分な正則関数を持つ複素解析的対象であり、アフィン代数多様体の解析的対応物であり、主題全体にとっての自然な舞台である。抽象的に定義されているため、これらを想像することは難しい。ナラシムハンは、複素次元nのすべてのシュタイン多様体が、C^{2n+1}への単射的かつ固有な正則埋め込みを持つことを証明した。

その一文は非常に大きな働きをしている。それは、抽象的なシュタイン多様体が決してエキゾチックなものではなく、次元がnのみに依存する有界な次元を持つ通常の複素ユークリッド空間の閉部分集合として、常に具体的に実現できることを示している。これは微分トポロジーにおけるホイットニーの埋め込み定理の複素解析的アナログであり、抽象的に定義された一連の対象を手に取れるものに変えた。この結果には彼の名前が冠されている。

シカゴ

彼は1966年にプリンストンの高等研究所 (Institute for Advanced Study) の客員研究員となり、1969年にシカゴ大学 (University of Chicago) の数学facultyに加わり、そこで4十年以上を過ごし、名誉教授として退職した。彼の関心は狭まるのではなく広がっていった。多変数複素関数論の傍らで解析的数論に取り組み、1990年代にはプリンストン大学でフィールズ賞受賞者であるチャールズ・フェファーマン (Charles Fefferman) と共に、解析学と実代数幾何学の交差点における論文で共同研究を行った。これは存命中の中で最も技術的に手ごわい解析学者の2人による組み合わせであった。ジュネーブ大学 (University of Geneva) は1986年に彼に名誉博士号を授与した。

著作

ナラシムハンは6冊の本を執筆し、その影響力は最終的に定理のそれを凌駕するかもしれない。『Analysis on Real and Complex Manifolds』(1968年)、シカゴ講義の巻である『Several Complex Variables』(1971年)、そして『Complex Analysis in One Variable』(2001年) は、圧縮され、正確で、容赦のないことで知られている。これらは、読者が安心感を求めるのではなく、最短で正しい道筋を望んでいることを前提とした本である。何世代もの大学院生がこれらから多変数複素関数論を学んだ。同僚たちは、彼がクラシック音楽とワインを同じように真剣に愛し、ある者が回想するように「解析学において真に驚異的な洞察力を持っていた」人物であったと記憶している。

彼は短い闘病の末、2015年10月3日に78歳で亡くなった。

なぜラガヴァンが天才と呼ばれるのか

具体的になろう。そこにこそ核心があるからだ。2つの結果は、どちらも彼が25歳未満で、博士号を取得する前に得られたものであり、それぞれが問題を進展させるのではなく、解決へと導いた。

埋め込み定理の方がよりすっきりしている。「これらの対象はどれほど野蛮になり得るか？」という問いに対して「まったく野蛮ではない」と答えるものであり、次元nのすべてのシュタイン多様体はC^{2n+1}の中に適切に収まる。このような形状の結果は稀であり、極めて有用である。なぜなら、他のすべての研究者が可能性のある病的な状況のカテゴリー全体について心配するのをやめることができるからである。

レヴィ問題はより難しく、説明もさらに難しい。岡とグラウエルートは滑らかな場合を解決していたが、残されたのは特異点を持つ複素空間であり、まさに標準的な機械論が危険なものになるところであった。大学院生として、ヨーロッパの優秀な解析学者たちを相手に、最も縮退した場合において50年前の問題を解決することこそ、「天才」という言葉が描写するために造られたものである。博士号を持たない25歳の若者に対するICMの招待は、当時下された専門職としての評価そのものである。

反例となるのは質ではなく規模の方である。ナラシムハンは分野を創設したり、学問分野の方向を転換したりしたわけではない。彼は他の人々が定義した分野の内部で2つの難しい問題を解決し、その後50年間をその内部で生産的ではあるがそれほど劇的ではない研究に費やした。彼はフィールズ賞、ウルフ賞、アーベル賞のいずれも受賞せず、彼の最大の栄誉はジュネーブからの名誉学位であった。主題が何であるかを変えた数学者たちと並べてみると、彼の業績は、初期に2つの素晴らしい結果を残し、その後に長くて卓越した安定期を迎えた、例外的に強力な解析学者のものである。それは、地図を描き直した精神というよりも、23歳にして誰も見ることができなかったものを見ることができた、厳密かつ局所的な意味での天才であった。

遺産

ナラシムハンの埋め込み定理と、レヴィ問題のグラウエルート・ナラシムハンによる解決は、多変数複素関数論の恒久的な要素であり、その主題が教えられる場所ならどこでも教えられている。彼の教科書は第二の遺産であり、より多くの人々に影響を与えたものである。何世代もの数学者たちが、彼の厳格な文章によって初めて複素解析に出会った。第三の遺産は制度的なもので見過ごされやすい。彼は、ラシーヌ神父とK・チャンドラセカランが1950年代から1960年代に輩出したコホートの一員であり、インドの数学を時折の天才児ではなく国際的文献における恒久的な存在へと押し上げた世代の一人であった。