レオポルト・クロネッカー：神は整数を創りたもうた

「Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk」（神は整数を創りたもうた、それ以外のものはすべて人間の仕業である）。ハインリヒ・ヴェーバー（Heinrich Weber）がこの言葉を伝えて以来、著者の言った他のほとんどすべてのことよりも長生きした。これは敬虔な脇道ではなく、宣戦布告であるからだ。この言葉を発した男は、最後の数十年を、同僚たちがせっせと発明していた無限対象から現代数学を剥ぎ取ることに費やした。そのために彼は十分すぎるほどの敵を作り、ヨーロッパで最も優れた解析学者の一人が、彼から離れるためにベルリンを去ろうとしたほどであった。

リークニッツとクンマーという名の教師

レオポルト・クロネッカーは1823年12月7日、プロイセンのリークニッツ（現在はポーランドのレグニツァ）の裕福なユダヤ人の家庭に生まれた。父イシドールと母ヨハンナ（旧姓プラウスニッツァー）は、彼をリークニッツのギムナジウムに送る前に家庭教師を雇った。ギムナジウムで彼は科学、歴史、哲学を学び、水泳や体操にも同じ情熱を注いだ。弟フーゴーは著名な生理学者となった。ギムナジウムの数学教師であったエルンスト・クンマー（Ernst Kummer）は、クロネッカーの才能を見抜き、それを伸ばした。この二人の関係は、クロネッカーのその後の人生を決定づけることになった。両者のキャリアは繰り返し交差したためである。

1841年にベルリン大学に入学し、天文学、哲学、数学の間で揺れ動いた。1843年の夏はボンで天文学を学び、その後、1843年から1844年にかけてクンマーを追ってブレスラウへ向かい、ベルリンに戻った。ベルリンでは1845年、ペーター・グスタフ・ディリクレ（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）の下で代数的数論の学位論文を弁護した。

数学を行っていた実業家

その後の彼の行動は、その才能を持つ人間としては珍しく、学問的なものではまったくなかった。彼は故郷に戻り、大規模な農場を経営し、家業に従事した。1848年に従姉妹のファニー・プラウスニッツァーと結婚し、6人の子供をもうけた。およそ10年間、彼は成功した地方の実業家でありながら、副業として独創的な数学を発表していた。その中には、ガロアの仕事を拡張した方程式の代数的可解性に関する1853年のメモワールや、群論を用いた5次方程式の扱い（アーベルやルフィニが不可能であることをすでに示していたラジカルによるものではない）に関する1850年の研究が含まれている。

事業は十分に成功し、1855年にはベルリンに戻り、ポストを持たず、必要ともしない私的な学者として生活することができた。1861年にベルリン・アカデミーに選出されたことで、大学で講義を行う権利を得て、1862年から開始した。彼は講座を持たないまま20年間教鞭をとった。1866年には、ガウスとディリクレの座であり、ヨーロッパの数学界で最も権威のあるポジションとされるゲッティンゲン大学の数学講座を断り、ベルリンを選んだ。1883年にクンマーが退職して初めて、彼は自分を見出した恩師の後を継いで正規の教授職に就いた。

数論の最も愛した夢

クロネッカーの数学は、分野を閉じるよりもむしろ種をまくようなものである。彼は1853年に後にクロネッカー・ヴェーバーの定理となるものを定式化したが、その完全な証明は後にダヴィト・ヒルベルト（David Hilbert）によって提供された。彼は有限生成アーベル群の構造定理を導入し、現代代数学の重要な結果の一つとした。彼は楕円関数に取り組み、自ら「liebster Jugendtraum」（最も愛した青春の夢）と呼んだものを予想した。これは明示的な類体論のヴィジョンであり、後にヒルベルトが第12問題に組み込んだもので、現在も研究プログラムとして生き続けている。

代数的数論において、彼はデデキントのイデアル論に代わる因子論を構築した。それは技術的な理由よりも哲学的な理由によるものであった。因子は明示的な構成によって扱えるが、イデアルは無限集合を必要とするからである。デデキントのアプローチが1世紀を支配し、クロネッカーのものは広く奇妙なものとして扱われたが、20世紀になって復活した。彼の名は現在、デルタ関数（クロネッカーのデルタ）、クロネッカー積、クロネッカー記号、クロネッカーの極限公式、クロネッカーの定理、クロネッカーの補題、クロネッカー・カペリの定理、クロネッカー置換など、膨大な数の数学的事象に冠されている。

無限に対する戦争

因子論を生み出した哲学的な立場が、敵意を含めた他のすべてを生み出した。クロネッカーは、数学は有限で明示的な構成によって整数から構築されるべきだと主張した。これは現在有限主義と呼ばれる教義で、彼を直観主義の先駆者にした。彼は連続性の概念や実解析における無理数の再構成に貢献したが、哲学的な理由でワイエルシュトラスの「いたるところで微分不可能」な連続関数を否定し、ゲオルク・カントール（Georg Cantor）の集合論と、その現実に存在する無限の階層を非合法であるとして攻撃した。

彼はこれらの見解をセミナーに限定しなかった。彼の運動はカール・ワイエルシュトラス（Karl Weierstrass）との関係を極度に悪化させ、1888年にはワイエルシュトラスが大学を去りそうになったほどであった。人生の最後の年にクロネッカーはキリスト教に改宗した。1891年12月29日、ベルリンで死去し、シェーネベルクのアルター・ザンクト・マテウス教会墓地（Alter St. Matthäus Kirchhof）に埋葬された。

レオポルトが天才と呼ばれる理由

その理由は、構造に対する代数学者の直感と、建設的な内容に対するほぼ強迫的な要求という、特殊で稀な組み合わせにある。クロネッカーは、原理的に構築できない数学的対象を受け入れることができなかったようであり、制限に見えるこの制約が生成器として機能した。それが因子論、有限生成アーベル群の構造定理、クロネッカー・ヴェーバーの定理、そして「青春の夢」を生み出し、そのいくつかはそれぞれの分野を再編した。彼の予想も非常に的確であった。ヒルベルトがその一つを証明し、もう一つを名前付きの問題として定めるために多大な努力を払ったという事実は、多くを物語っている。

正直な反論としては、数学全体に対する彼の判断は貧弱であり、高い代償を払ったというものがある。彼はワイエルシュトラスの病的な関数について間違っており、それは現在では学部の標準的な教材となっている。彼はカントールについて間違っており、カントールの超限算術は基礎的なものとなった。彼の好んだ因子論は1世紀近くの間、デデキントのイデアルに影を潜め、彼の構成的なこだわりは当時、真の表現力を犠牲にしていたことを示唆している。そして彼は、これらの確信を個人的な激しさで押し付けたため、ワイエルシュトラスほどの人物をベルリンから追い出しそうになった。これは歴史家たちが単なる厳格さとして正当化することのできない振る舞いであった。公平なまとめとして、クロネッカーは一流の数学者であり、二流の預言者であった。彼の定理は彼の意見よりもはるかに良く古びることなく生き残っており、彼の哲学的な反論は、彼が意図したプログラムとしてよりも、数学内部における恒久的な少数派の立場としてより有用であることが判明した。

遺産

彼は1861年にプロイセン科学アカデミー、1868年にフランス科学アカデミー、1884年に王立協会に選出され、小惑星25624号クロネッカーには彼の名が付けられている。彼はクルト・ヘンゼル（Kurt Hensel）、アドルフ・クネーザー（Adolf Kneser）、マティアス・レルヒ（Mathias Lerch）、フランツ・メルテンス（Franz Mertens）を指導した。ヘンゼルのp進数は、この建設的な衝動の直接的な継承者である。20世紀における彼の因子論の復活と、直観主義が重要な基礎的代替案として存続していることは、彼が存命中に失った論争が完全には終わっていないことを意味している。