伊藤清（Kiyoshi Itō）：ランダムネスに解析学を与えた数学者

伊藤清が現代確率解析の基礎となる論文を発表してから10年以上にわたり、それを読んだ者はほとんどいなかった。「発表当時、この論文を熟読した知人としては、友人のG. Maruyama（丸山儀四郎）のほかに誰も思い当たらない」と彼はのちに認めている。6十年後、その論文に含まれていた公式——通常の解析学では太刀打ちできないほど不規則なプロセスに対して解析学を行う手法——は、地球上のすべての銀行のオプション価格計算デスクでひそかに稼働するようになり、2006年、91歳となった伊藤は、現実世界における実践的帰結が作者の予想をはるかに凌駕した業績を特に称える数学の最新の栄誉であるガウス賞を、史上初めて受賞した。

戦時中の統計官の副業的プロジェクト

伊藤は1915年9月7日に日本の三重県北勢町で生まれた。東京帝国大学で数学を学び、1938年に卒業した。学生時代、当時の確率論の文献には確率変数の厳密な定義が欠けていると感じ、不満を抱いていた。その不満が研究の原動力となった。1938年からは日本の内閣統計局に勤務した。これは戦時の公務員としての職であったが、珍しいことに、純粋な理論的研究を副業として追求するための制度的後ろ盾を彼に与えた。まさにそこで1942年、滑らかな曲線ではなくランダムに変動するプロセスに関して積分する確率積分の理論を第一原理から再構築した論文「確率過程について（On Stochastic Processes）」を執筆した。

ブラウン運動のための解析学の構築

伊藤が手懐ける必要があった数学的対象はブラウン運動であった。それは、水中の花粉の微粒子の不規則な揺れをモデル化するために最初に用いられた、不規則なジグザグ運動であり、あまりにも荒々しいため有界変動を持たず通常の意味では微分できない経路である。伊藤の解決策には3つの連鎖する要素があった。彼は、ブラウン運動に対する積分に意味を与える、現在「伊藤の積分」と呼ばれる新しい種類の積分を定義した。次にそれを用いて確率微分方程式——dX(t) = σ(X(t))dB(t) + b(X(t))dtという形式の表現——を定式化し、数学者がその経路が生み出す確率分布だけでなく、個々のランダムな標本経路そのものを直接記述し操作できるようにした。そして、確率的プロセスの関数が時間の経過とともにどのように変化するかを表す公式——通常の解析学的連鎖律をランダムネスの追加項を考慮して再構築した、df(X(t)) = f′(X(t))dX(t) + ½f″(X(t))σ²(X(t))dtという、現在分野で「伊藤の補題」と呼ばれるもの——を導出した。これらにより、それまで別々であった2つの伝統、すなわちフランスの数学者ポール・レヴィ（Paul Lévy）の直感的で標本経路的な確率論的思考と、アンドレイ・コルモゴロフ（Andrei Kolmogorov）によって築かれた厳密な測度論的基礎が統合された。

大陸を越えたキャリア

伊藤は1945年に博士号を取得し、戦後は1943年から1952年まで名古屋帝国大学で助教授として教鞭を執った。1952年に京都大学に移り、1979年まで教授を務めた。その間、1954年からのプリンストン高等研究所での2年間、1966年から1969年までのデンマークのオーフス大学での教授職、1969年から1975年までのコーネル大学での教授職など、国際的な要職を歴任した。1979年以降は学習院大学で教えた。こうした経歴を通じて、かつては見過ごされていた1942年の論文は徐々に国際的な支持を集めるようになり、日本における伊藤の弟子たち——渡辺信三、福島正俊、国田寛らが含まれる——は彼の方法論を無限次元空間や一般的な対称マルコフ過程へと拡張し、日本を確率論における世界有数の中心地へと変貌させた。

栄誉とガウス賞

伊藤の後年のキャリアを通じて、栄誉が次々と授与された。1978年に日本の朝日賞、同年には恩賜賞および日本学士院賞、1985年に藤原賞、1987年にウルフ賞数学部門、1998年に京都賞基礎科学部門を受賞した。彼はアメリカ科学アカデミーおよびフランス科学アカデミーの会員に選出され、ウォリック大学およびスイス連邦工科大学チューリッヒ校（ETH Zürich）から名誉博士号を授与された。集大成となったのは2006年である。国際数学連合が、卓越した実践的意義を持つ数学的業績を特に称えるためにカール・フリードリヒ・ガウス賞を新設し、当時91歳だった伊藤をマドリードでの国際数学者会議におけるその最初の受賞者に指名した。伊藤自身はその栄誉の枠組みに驚いた様子であり、「私の研究が数学の応用におけるガウス賞に選ばれたという事実は、本当に予想外であり、深く感激している」と述べ、自身の研究は純粋数学に属すると常に考えていたと付け加えた。

黒板からトレーディングフロアへ

その謙虚さは、彼が築き上げたものの広がりを過小評価していた。伊藤の解析学は、現代の数理ファイナンスの根底にある数学的インフラストラクチャーとなった。ブラック・ショールズのオプション価格モデルや、より広範な確率ファイナンスの分野は、資産価格に関する伊藤型の確率微分方程式を解くことに直接依拠している。ファイナンスを超えて、彼のフレームワークは、フィルタリング理論や信号処理、遺伝的浮動をモデル化するための集団遺伝学、ランダムなノイズに揺さぶられるシステムを記述するための統計力学において標準的なツールとなった。政府の統計局で生まれ、当初はほとんど誰も読まなかった論文から生み出された20世紀の数学的成果のうち、現在すべての主要銀行のソフトウェアの内部に組み込まれていると主張できるものは数少ない。

なぜ清は天才と呼ばれるのか

伊藤が天才と呼ばれる所以は明確かつ強力である。彼は単に未解決の問題を解いたのではなく、後続の分野全体が自らの問いを発する前に必要とした言語——積分、方程式、微分規則——を構築したのである。彼の伝統を受け継いで研究した数学者たちは、1942年の彼の構築を、確率解析が発見的（ヒューリスティック）なものから厳密なものへと移行した瞬間であると表現している。それはレヴィの直感とコルモゴロフの形式主義を、のちに経済学者や物理学者によって課される重みに耐えうるほど精密なツールへと統合したものであった。率直な複雑さは、これが一瞬にして認識された雷のようなひらめきではなかったという点にある。伊藤自身の回想によれば、1人か2人以外の数学者がその研究に真剣に関関わるようになるまでに10年以上がかかり、ファイナンスにおける爆発的な実用的重要性は、伊藤が別の目的のために構築したツールを応用した経済学者（フィッシャー・ブラック、マイロン・ショールズ、ロバート・マートン）によって、数十年も経ってからようやく顕在化したのである。言い換えれば、彼の天才性とは、その真の価値を彼自身さえ予想していなかった正確な機械装置を忍耐強く孤独に構築したことにあり、それは単一の眩い証明というよりも、エンジニアの基礎的インフラストラクチャーに近いものであった。

遺産

伊藤は2008年11月10日に京都で93歳で亡くなった。彼が導入した語彙——伊藤の積分、伊藤のプロセス、伊藤の補題——は、現在では確率論、物理学、ファイナンスに深く組み込まれており、戦時中の日本の統計局におけるその起源にほとんど言及されることなく大学院生に教えられている。彼のキャリアの頂点となったガウス賞は現在、理論的業績が外部の分野を再形作った数学者たちに毎年授与されている。伊藤自身の生涯は、その賞が称えるために創設された手本そのものを体現していた。