カレン・ウーレンベック：幾何学を再構築した解析学者

針金のフレームに張られた石鹸膜は、到達可能な最小の表面積に収束する。カレン・ウーレンベックは、それができない場合、つまりエネルギー最小化プロセスが孤立した点で破綻し、現代の数学者が「バブル（泡）」と呼ぶものに集中してしまう場合に何が起こるかを解明することにキャリアを捧げた。その破綻を記述したジョナサン・サックスとの共著論文は、この学問分野を二分した。「サックス・ウーレンベック以前と以降が存在する」と幾何学者のフランソワ・ラボゥリは語った。2019年、彼女は女性として初めてアーベル賞を受賞した。

クリーブランドと図書館の貸出カード

カレン・ケスクラ・ウーレンベックは1942年8月24日、オハイオ州クリーブランドで、エンジニアのアーノルド・ケスクラとアーティストのキャロリン・ウィンデラー・ケスクラの4人の子供の長女として生まれた。彼女は田舎で育ち、貪欲に読書をした。「子供の頃は本をたくさん読み、何でも読みました」と彼女は振り返る。「図書館に行っては、一晩中起きて本を読んでいました」。12歳頃、父がフレッド・ホイルの天体物理学の本を渡してくれた。ジョージ・ガモフの『不思議の国のトムキンス』（One, Two, Three... Infinity）は、無限大には異なるサイズがあることを教えてくれたため、彼女を夢中にさせた。

ミシガン大学に進学し、物理学を志すが、1964年に数学の学士号を取得した。1966年にブランダイス大学で修士号を、1968年にリチャード・パレの指導の下で博士号を取得した。

開かなかった扉

その後、数学とは無関係の理由でキャリアは停滞した。MITでのポスドク期間とカリフォルニア大学バークレー校での2年間の講師職を経て、ウーレンベックは常勤職を得ることができなかった。彼女はその理由を率直に語っている。「『女性は雇わない』と言われました。女性は家にいて子供を産むものだと」。MIT、スタンフォード、プリンストンなど、夫を雇用したがった大学は、反ネポティズム規則を盾に、彼女の採用を形式的な理由で拒否した。

1971年、イリノイ大学アーバナ・シャンペーン校で職を得た。夫は彼女のキャリアに合わせて移動した。その後、イリノイ大学シカゴ校に移り、正教授に昇進。1983年にマッカーサー・フェローに選ばれシカゴ大学へ、1988年以降はテキサス大学オースティン校のシド・W・リチャードソン財団リージェント教授職を務めている。

バブル（泡立ち）

サックス＝ウーレンベックの論文は「調和写像」に関わるものだった。曲面から曲がった空間への写像のエネルギー汎関数に何が起こるかという問題である。二人は、エネルギーを最小化する列がほとんど至るところで調和写像に収束するものの、孤立した点では解析が失敗し、球体分のエネルギーが分離する――すなわち「泡立つ（バブル・オフ）」ことを示した。この洞察の重要性は、手法が破綻したことではなく、その破綻に正確で分類可能な構造があることを示した点にあった。特異点は障害ではなく研究対象となった。「バブル（泡立ち）」は、今や幾何学的解析における標準的なツールである。

ゲージ理論とドナルドソン革命

1980年代初頭、ウーレンベックは同様の解析的直感をヤン＝ミルズ方程式、すなわちゲージ場の物理学の背後にある数学に向けた。彼女は問題に適した新しい座標系を導入し、有界曲率を持つ接続のコンパクト性定理を証明し、特異点除去定理を確立した。これは、4次元空間において「悪い点」が埋め合わせ可能であることを実証したものだった。

これこそが、分野全体が待ち望んでいた仕組みだった。彼女のツールによってインスタントンを幾何学的に扱うことが可能になり、サイモン・ドナルドソンはそれを用いてフィールズ賞を受賞する研究へと進んだ。ドナルドソン自身も、ウーレンベックの成果が「この分野におけるその後の研究の大部分の基礎となっている」と評価している。

可積分系と彼女自身の専門分野

ナイジェル・ヒッチンやチュー・リアン・タンらと共に、ウーレンベックは曲面から等質空間への調和写像が1パラメータ族として現れることを示し、幾何学とソリトン理論の代数的な仕組みである無限次元可積分系との架け橋を築いた。

これら一連の業績は、現代の幾何学的解析学の創設に相当する。すなわち、複雑な偏微分方程式とトポロジー、幾何学の意図的な融合である。彼女自身による仕事の記述は、相変わらず控えめだ。「何が起こるか分からない状態でデッキから飛び降りるようなものだった」と彼女は言う。

場所を作る

彼女は自身の専門職としての歩みを個人的な問題として扱わなかった。プリンストン高等研究所のプログラム「女性と数学（Women and Mathematics）」の共同設立者であり、パークシティ数学研究所の設立にも貢献した。女性数学者へのメンターシップは伝説的と称される。彼女は、数学界における進歩を自賛する姿勢を拒絶した。2007年にAMSスティール賞を受賞した際、彼女はこう述べた。「数学を行い、指導的立場にある女性の数には今も非常に失望しています。これは私の考えでは、主に数学コミュニティの文化と、外部からの厳しい社会的な圧力によるものです」。

1983年のマッカーサー・フェロー、1985年の米国芸術科学アカデミー会員選出、同年のAMSコロキウム講演、1986年の全米科学アカデミー会員選出、1988年のネーター講演、1990年の国際数学者会議での全体講演（女性として史上2人目）、2000年の「大域幾何学への多くの先駆的な貢献」に対する国家科学メダル、2007年のスティール賞、2019年のアーベル賞、2020年のAWMフェロー、2023年の王立協会フェローと、栄誉は重なった。

カレンが天才と呼ばれる理由

彼女の能力は、ある種の特別な胆力だ。ウーレンベックの直感は、手法が崩壊する地点へと真っ直ぐに向かうことにある。ほとんどの数学者は特異点を回避する。彼女は解析が失敗する場所こそが幾何学が実際に生きている場所だと捉え、それを記述するための技術的装置を構築した。だからこそ、彼女の成果はインフラストラクチャーとして機能する。「バブル」「コンパクト性」「特異点除去」といった用語は、人々が気づかないうちに日常的に使用するツールとなっており、単なる引用対象としての定理を超越している。

そう評価するのは広報担当者ではない。アーベル賞の選考理由は、「幾何学的偏微分方程式、ゲージ理論、可積分系における先駆的業績」を彼女のものとし、解析学、幾何学、数理物理学に対する「根本的な影響」を評価した。ノルウェー科学アカデミーは、彼女の仕事が過去40年間の数学における最も劇的な進歩を生み出したと評した。ドナルドソンは彼女の成果が分野を支えていると語り、サン＝ユン・アリス・チャンは「彼女の影響は数学の様々な枝にまたがっている」と指摘し、ラボゥリは論文の一つを歴史の分岐点として挙げている。

公平な反論には二つの側面がある。第一に、彼女の象徴的業績は、他の人々の記念碑的な定理を可能にする「媒介」としての性質が強いことであり、インスタントンの幾何学に関するフィールズ賞はドナルドソンに贈られた。それが彼女をより重要な人物とするかそうでないかは、決着のついていない議論である。第二に、評価が遅すぎたため、現在は「初の女性受賞者」という事実に不可分に結びついていることだ。その枠組みは、強力な解析学者をシンボルに変えてしまい、肝心の数学を静かに置き去りにするリスクを孕んでいる。ウーレンベック自身は、予知能力を主張することを慎んできた。彼女自身の仕事の説明によれば、彼女は足元に何があるか分からない状態でデッキから飛び降りたに過ぎないのだ。

遺産

幾何学的解析学が独立した一貫性のある学問として存在するのは、入手可能な最も困難な解析的手法を幾何学の内部に取り込むべきだとウーレンベックが主張したおかげである。1970年代後半に彼女とサックスが発見した「泡」は、今や数学者が極限や破綻を考える際の標準的な思考の一部となっている。そして、彼女がプリンストンで立ち上げたプログラムを通じてこの分野に入った女性たちは、彼女の業績の第二の、しかし引用されることの少ない本体を形成している。