Diophantus

各辺に同じ項が異なる係数で現れた方程式に到達した場合、すべての項が正になるまで両辺から等しいものを取り続けなければなりません。しかし、一方の辺または両辺に負の項がある場合、両辺のすべての項が正になるまで不足分を両辺に加える必要があります。次に、各辺に1つの項が残るまで、両辺から等しいものを取り続けなければなりません。

Alexandria のDiophantusはAlexandriaの数学者で、Arithmeticaという一連の書籍の著者でした。その多くは現在失われています。彼の著作は代数方程式の解法を扱っています。Claude Gaspard Bachet de MéziriacによるDiophantusのArithmeticaの版を読んでいたPierre de Fermatは、Diophantusが考慮した特定の方程式に解がないと結論づけ、今ではFermatの最後の定理として知られている「この命題の真に驚くべき証明」を見つけたが詳しく説明しなかったと余白に記しました。これは数論における非常な進歩をもたらし、Diophantine方程式「Diophantine幾何学」およびDiophantine近似の研究は数学研究の重要な分野のままです。Diophantusは近似的な等式を指すためにparisotes(παρισότης)という用語を作りました。この用語はラテン語ではadaequalitatisとなり、Pierre de Fermatによって開発されたadenqualityの技法となり、関数の最大値と曲線への接線を見つけるために使われました。Diophantusは分数を数として認識した最初のギリシャ数学者でした。したがって、彼は係数と解に対して正の有理数を許容しました。現代の用法では、Diophantine方程式は通常、整数係数を持つ代数方程式であり、整数解が求められます。

伝記

Diophantusの人生についてはほとんど知られていません。彼はエジプトのAlexandriaに住んでいて、ローマ時代の、おそらくAD 200から214の間から284または298までの時期に生きていました。Diophantusは歴史家によって、ギリシャ人、またはおそらくヘレニズム化されたエジプト人、またはヘレニズム化されたバビロニア人として様々に記述されてきました。これらの特定の多くは4世紀の修辞学者Diophantus the Arabとの混同に由来する可能性があります。Diophantusの人生に関する私たちの知識の多くは、Metrodorus によって作成された5世紀のギリシャの数ゲームとパズルのアンソロジーから派生しています。時々彼の墓碑銘と呼ばれる問題の1つはこう述べています：

ここにDiophantusが眠る、不思議を見よ。

代数の芸を通して、石は彼の年齢を教える：

「神は彼に少年時代を彼の人生の6分の1与え、

ひげが生えそろう青年期を12分の1さらに与えた；

そして結婚が始まる前にさらに7分の1の時を；

5年で、可愛い新しい息子がやってきた。

ああ、その子は主人と賢者の子で

父の人生の尺度の半分に達した後、冷酷な運命が彼を奪った。数の科学によって彼の運命を4年間慰めた後、彼は人生を終えた。」

このパズルは、Diophantusの年齢xが次のように表現できることを示唆しています

x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4

これはxに84年の値を与えます。しかし、この情報の正確さは独立して確認することはできません。

ポップカルチャーでは、このパズルはProfessor Layton and Pandora's Boxのパズルナンバー142であり、ゲーム内で最も難しい解くパズルの1つで、最初に他のパズルを解くことでロック解除する必要がありました。

Arithmetica

Arithmeticaはdiophantusの主要な作品であり、ギリシャ数学における代数に関する最も顕著な作品です。これは確定方程式と不定方程式の両方の数値解を与える問題の集合です。Arithmeticaが構成していた元々の13冊のうち、6冊だけが生き残っていますが、1968年に発見された4冊のアラビア語の書籍もDiophantusによるものだと信じる人もいます。ArithmeticaからのいくつかのDiophantine問題がアラビア語の資料で見つかっています。

ここで述べておくべきことは、Diophantusは彼の解法において一般的な方法を決して使用しなかったということです。著名なドイツの数学者Hermann Hankelは、Diophantusに関して次のような発言をしました。

「我々の著者Diophantosには、一般的で包括的な方法の最もわずかな痕跡も認識できません；各問題は特別な方法を要求し、それはほぼ関連した問題においてさえ機能することを拒みます。このため、100のDiophantosの解を研究した後でさえ、近代の学者が101番目の問題を解くことは困難です」。

歴史

他の多くのギリシャの数学論文のように、Diophantusは古代ギリシャの研究と識字が全般的に大きく減少した、いわゆる暗黒時代の間にヨーロッパ西部で忘れられていました。生き残ったギリシャのArithmeticaの部分は、しかし、すべての古代ギリシャの著作が早期近代の世界に伝達されたように、中世のビザンチンの学者によってコピーされ、したがって知られていました。ビザンチンのギリシャの学者John Chortasmenos 1370–1437によるDiophantusについてのScholia はより早いギリシャの学者Maximos Planudes 1260 – 1305によって書かれた包括的な論評とともに保存され、彼はビザンチンのConstantinopleのChora修道院の図書館内でDiophantusの版を製作しました。さらに、Arithmeticaの一部はおそらくアラブの伝統で生き残っていました上記を参照してください。1463年、ドイツの数学者Regiomontanusは書きました：

Diophantusの13冊をギリシャ語からラテン語に翻訳した者はまだいません。そこには算術全体の最も花が隠されています。

Arithmeticaは最初に1570年にBombelliによってギリシャ語からラテン語に翻訳されましたが、その翻訳は出版されませんでした。しかし、Bombelliは彼自身の書籍Algebraのために多くの問題を借用しました。Arithmeticaのeditio princepsは1575年にXylanderによって出版されました。Arithmeticaの最も有名なラテン語翻訳は1621年にBachetによって作成され、広く入手可能になった最初のラテン語版になりました。Pierre de Fermatは写本を所有し、それを研究し、余白に注釈を書きました。

FermatとChortasmenosによる余白への記述

1621年版のBachetによるArithmeticaは、Pierre de Fermatが彼の写本の余白に彼の有名な「最後の定理」を書いた後に名声を得ました：

整数nが2より大きい場合、aⁿ + bⁿ = cⁿはゼロ以外の整数a、b、およびcの解を持ちません。この命題の真に驚くべき証明がありますが、この余白は含むには狭すぎます。

Fermatの証明は見つかりませんでした。定理の証明を見つけるという問題は何世紀もの間未解決のままでした。1994年にAndrew Wilesが7年間取り組んだ後に証明が最終的に見つかりました。Fermatが実際に彼が主張していた証明を持っていたとは信じられていません。Fermatがこれを書いた元々の写本は今日失われていますが、Fermatの息子は1670年に出版されたDiophantusの次版を編集しました。テキストはそれ以外は1621年の版より劣っていますが、Fermatの注釈—「最後の定理」を含む—はこのバージョンで印刷されました。

Fermatは、Diophantusに自分の余白の注釈を書くことに駆り立てられた最初の数学者ではありませんでした；ビザンチンの学者John Chortasmenos 1370–1437は「あなたの魂、Diophantus、Satanとともにあれ、あなたの他の定理の難しさと特にこの現在の定理のために」と同じ問題の隣に書いていました。

他の作品

Diophantusはそもそも、Arithmetica以外にいくつかの他の書籍を書きましたが、それらのほとんど非常に少数の者が生き残っています。

ポリズム

Diophantus自身はThe Porisms またはPorismataと呼ばれる補題の集合で構成される作品を参照していますが、この本は完全に失われています。

The Porismsが失われていますが、Diophantusがそれらを参照しているので、Arithmeticaに含まれている3つの補題を知っています。1つの補題は、2つの有理数のキューブの差は他の2つの有理数のキューブの合計と等しいことを述べています、すなわち任意のaとb、a > b、で与えられた場合、c とd、すべて正と有理、が存在し、

a³ − b³ = c³ + d³

多角数と幾何学的要素

Diophantusはまた多角数についても書いたことが知られていて、これはPythagorasとPythagoreans にとって大きな関心の話題でした。多角数を扱う本の断片は現存しています。

Preliminary to the Geometric Elements と呼ばれる本はHero of Alexandriaに伝統的に帰されてきました。最近Wilbur Knorrによって研究され、彼はHeroへの帰属が不正確であることを示唆し、真の著者はDiophantusであると述べました。

影響

Diophantusの著作は歴史上大きな影響を与えてきました。Arithmeticaの版は16世紀後期および17世紀から18世紀を通じてヨーロッパの代数の発展に深い影響を与えました。Diophantusとそれらのなしたのはアラブ数学にも影響を及ぼし、アラブの数学者の間で大きな名声を得ていました。Diophantusの著作は代数についての基礎を創出し、実際には高度な数学の大部分は代数に基づいています。彼がインドに与えた影響がどのくらいあるかは議論の余地があります。

Diophantusは、数論や数学的表記に大きく貢献し、Arithmeticaが縮約表記の最も早い既知の使用法を含むため、「代数の父」と呼ばれることがよくあります。

Diophantine解析

今日、Diophantine解析は方程式の整数解全体数が求められている研究の領域であり、Diophantine方程式は整数係数を持つ多項式方程式であり、整数解のみが求められています。与えられたDiophantine方程式が可解かどうかを判断することは通常かなり困難です。Arithmeticaのほとんどの問題は二次方程式につながります。Diophantusは3つの異なるタイプの二次方程式を見ました：ax² + bx = c、ax² = bx + c、およびax² + c = bx。Diophantusで3つのケースがあった理由は、今日私たちは1つのケースだけを持っているのに対し、彼はゼロの概念を持たず、与えられた数a、b、cを上記の3つのケースのそれぞれで正であると考えることによって負の係数を避けたためです。Diophantusは常に有理解に満足しており、全数を要求しなかったため、彼の問題への解として分数を受け入れました。Diophantusは負または無理数の平方根の解を「役に立たない」、「無意味」、さらには「不合理」と見なしました。特定の例を1つ与えるために、彼は方程式4 = 4x + 20を「不合理」と呼んでいます。なぜなら、それはxに負の値をもたらすためです。1つの解は彼が二次方程式で探しているすべてでした。Diophantusが二次方程式には2つの解があり得ることに気付いたことさえ示唆する証拠はありません。彼は同時二次方程式も考慮しました。

数学的表記

Diophantusは数学的表記において重要な進歩を遂げ、代数的表記と象徴主義を使用した最初の既知の人物になりました。彼の前に、すべての人は完全に方程式を書き出しました。Diophantusは、頻繁に発生する操作用の略記法を使用し、未知数および未知数の力のための略記を使用する代数的象徴主義を導入しました。数学史家Kurt Vogelは述べています：

Diophantusが最初に導入した、そして疑いなく自分自身で考案した象徴主義は、方程式を表現する簡潔で容易に理解可能な手段を提供しました...また「等しい」という単語の略記も使用されているため、Diophantusは言葉代数から記号代数への基本的なステップを踏みました。

Diophantusは象徴主義において重要な進歩を遂げましたが、彼はまだより一般的な方法を表現するために必要な表記がありませんでした。これは彼の著作をより一般的な状況よりも特定の問題にさらに関心を持つようにしました。Diophantusの表記の制限の一部は、彼が1つの未知数のみの表記を持ち、問題が1つ以上の未知数を含む場合、Diophantusは「最初の未知数」、「2番目の未知数」などを単語で表現することに減少していました。彼はまた一般的な数nの象徴がありませんでした。私たちが12 + 6n/n² − 3と書くところ、Diophantusは次のような構造に頼らなければなりません：「...12で増加した6倍数、それは数の平方が3を超える差で除かれます」。

代数は、より一般的な問題が簡潔に書き留められ、解決される前に、まだ長い道のりがありました。