ノートブックの内容
このノートブックの大部分を占めているのは「モック・シータ関数」と呼ばれる、ラマヌジャンが晩年に考案した神秘的な関数です。これらは古典解析におけるシータ関数に似ていますが、同じ変換特性を満たしません。ラマヌジャンは、死の数週間前にハーディに宛てた手紙の中でこれらについて触れていました。70年間、その正体は誰にも理解されませんでした。しかし2002年、サンダー・ズウェガースが、これらが「調和マース形式」の構成要素であることを示しました。これは現代の数論、弦理論、ムーンシャイン理論と繋がる深い構造です。
分割合同式
ノートブックには、整数を和として分解する方法の数に関するパターンである「分割合同式」の結果も含まれています。ラマヌジャンは、「5n+4の分割数は常に5で割り切れる」「7n+5は7で」「11n+6は11で」という性質に気づいていましたが、証明は提示していませんでした。証明がなされたのは数十年後のことです。ラマヌジャンのタウ関数とそのモジュラー形式への関連性という、より深い説明に至るまでには、実に1世紀もの時間が必要でした。
なぜ彼は分かったのか？
ラマヌジャンの業績における最大の謎は、彼が死後数十年経つまで発明されていなかった数学的装置を必要とする結果を、どのように導き出したかという点です。ハーディは、ラマヌジャンが当時の西洋の数学者には知られていなかった独自のモジュラー形式理論を、直感、数値実験、そして不可解なほどの数学的本能を組み合わせて構築していたのではないかと考えていました。
よくある質問
ラマヌジャンの失われたノートブックとは何ですか？
ラマヌジャンの失われたノートブックは、ラマヌジャンが晩年（1919～1920年）に書き記した138ページの数学公式集です。1976年に再発見されたこのノートには、約600もの結果が含まれています。その大部分は未証明ですが、モック・シータ関数、分割合同式、連分数恒等式などを含み、現在も数学者たちが検証を続けています。
モック・シータ関数とは何ですか？
モック・シータ関数とは、ラマヌジャンが晩年に考案し、死の数週間前にハーディへの手紙で記述した神秘的な関数です。70年間その本質は不明でしたが、2002年にサンダー・ズウェガースが、これが調和マース形式の構成要素であることを明らかにしました。これは数論や現代物理学と密接に関係する対象です。
ラマヌジャンは自身の公式を証明しましたか？
ほとんどしていません。ラマヌジャンは自信を持って結果を提示しましたが、証明を行ったのはその一部に過ぎません。彼は、自身の公式は女神ナマギリが夢の中で教えてくれたものだと主張していました。ハーディの推定では、ラマヌジャンのノートにある約3,900の結果のうち、約3分の2はすでに知られていたか証明可能なものであり、残りの3分の1は完全に新しいもので、検証のために新しい数学が必要とされました。