ユークリッドの平行線公準
平行線公準とは、「ある直線と、その直線の外にある点を通る直線について、与えられた直線に平行な直線はただ1本しか存在しない」というものです。これは明白に思えます。しかし、ユークリッドの他の公準とは異なり、自明の理ではありません。2,000年間、数学者たちは他の公準から導き出せると想定していましたが、不可能だったのです。
ロバチェフスキーの双曲幾何学
ロバチェフスキー（1829年）とボヤイ（1832年）は、ある点を通る平行線が無数に存在すると仮定すれば、双曲幾何学という整合的な幾何学が得られることをそれぞれ独自に証明しました。双曲空間では、三角形の内角の和は180°未満となり、幾何学は負の曲率を持ちます（サドルのような表面）。
リーマンの拡張
ベルンハルト・リーマン（1854年）はさらに一般化しました。平行線が1本も存在しない場合（球面幾何学。大円は常に交差する）もあり得ます。そして幾何学は3次元空間においても平坦である必要はなく、空間自体が曲がっている可能性があるのです。これは60年後、アインシュタインが一般相対性理論で使用した数学的枠組みとなりました。
拒絶と再評価
ロバチェフスキーは1829年に成果を発表しましたが、嘲笑され無視されました。ボヤイの父親はその研究をガウスに送りましたが、ガウスは「何年も前に考えていた」と返信しました（真実と思われますが、発表はされませんでした）。ロバチェフスキーは自分の業績が認められるのを見ることなく亡くなりました。再評価はリーマンの一般化、そして最終的に空間が真に曲がっているというアインシュタインの証明によってもたらされました。
よくある質問
非ユークリッド幾何学とは何ですか？
非ユークリッド幾何学とは、ユークリッドの平行線公準を否定するあらゆる幾何学のことです。双曲幾何学（ロバチェフスキー、ボヤイ）ではある点を通る平行線は複数存在し、球面幾何学（リーマン）では1本も存在しません。どちらも内部的に整合性があり、実際の物理空間を記述しています。
誰が非ユークリッド幾何学を発明したのですか？
ニコライ・ロバチェフスキー（ロシア、1829年）とヤーノシュ・ボヤイ（ハンガリー、1832年）が独自に双曲非ユークリッド幾何学を発見しました。後にガウスも独自に発見したと主張しましたが、発表はしていませんでした。1854年、リーマンがこれら全てを一般化しました。
非ユークリッド幾何学はどのようにアインシュタインと関係していますか？
アインシュタインの一般相対性理論（1915年）は、重力を4次元時空の曲率として記述するためにリーマン幾何学を使用しています。質量を持つ物体が空間の形状を曲げ、私たちが重力として経験するものは曲がった測地線に沿った運動です。非ユークリッド幾何学がなければ、一般相対性理論には数学的言語が存在しなかったでしょう。