古代ギリシャの貢献
ギリシャの数学者、特にアレクサンドリアのディオファントス（250年頃）は重要な進歩をもたらしました。ディオファントスの『算術』は、初歩的な記号表記を導入し、数百もの代数問題を解きました。彼は「代数学の父」と呼ばれることもありますが、その称号をアル・フワーリズミーに与える人もいます。ディオファントスは方程式の整数解、いわゆるディオファントス方程式に焦点を当てており、これはフェルマーの最終定理に直接つながる分野です。
アル・フワーリズミーと「代数学（Algebra）」の名称
「algebra（代数学）」という言葉は、820年頃にバグダードでムハンマド・イブン・ムーサー・アル・フワーリズミーが著した書物のタイトルにある「al-jabr」に由来します。彼の『代数学と対消去の計算の概論』（Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wal-muqābala）は、線形および二次方程式を体系化した最初の著作であり、「アルゴリズム（algorithm）」という言葉もアル・フワーリズミーの名をラテン語化したものに由来します。
ヨーロッパ・ルネサンス
ヨーロッパの代数学は16世紀イタリアで急速に進歩しました。ジェロラモ・カルダーノは、三次および四次方程式の解法をその著書『アルス・マグナ』（1545年）で公表しました。これは、先に三次方程式の解法を見つけていたニッコロ・タルタリアとの熾烈な論争の末のことでした。フランソワ・ヴィエトは既知数と未知数の両方に文字を用いる方法を導入（1591年頃）し、代数学を現代的な記号形式へと前進させました。
デカルトと解析幾何学
ルネ・デカルトの『幾何学』（1637年）は、代数学と幾何学を初めて結びつけました。デカルト座標によって、幾何学的な曲線が代数的な方程式として表現され、代数的な方程式が幾何学的に可視化されるようになりました。この統合は革新的であり、ニュートンやライプニッツは、この基盤の上に微積分学を築き上げました。
抽象代数学
19世紀、代数学は完全に抽象化されました。エヴァリスト・ガロア（1811–1832）は20歳で決闘により死去しましたが、群論の基礎を築き、4次を超える多項式方程式には一般的な代数的解法が存在しないことを証明しました。エミー・ネーター（1882–1935）は抽象代数学の母と見なされており、環、イデアル、加群に対する彼女の公理的なアプローチは、この分野を現代的な姿へと変貌させました。
よくある質問
誰が代数学を発明したのか？
代数学には何千年もの間にわたる複数の発明者がいます。バビロニアの数学者（紀元前1800年頃）は言葉で代数問題を解き、ディオファントスは3世紀に記号的方法を定式化し、アル・フワーリズミーは9世紀に代数学を体系化して現在の名称を与えました。
「algebra（代数学）」とはどういう意味か？
この言葉は、アル・フワーリズミーの9世紀のアラビア語の論文のタイトルにある「al-jabr」（補完、あるいは復元）に由来します。もともとは、方程式の片辺から負の項をもう一方へ移すという技法を指す言葉でした。
抽象代数学とは何か？
抽象代数学は、数とは独立した数学的対象として、代数構造（群、環、体、加群）を研究する学問です。19世紀にガロア、アーベル、ケイリー、そして特にエミー・ネーターによって発展させられ、現代数学、暗号学、理論物理学の基盤となっています。