Edward Lorenzと発見
1963年、気象学者Edward Lorenzは初期のコンピュータで天気シミュレーションを実行していた。途中地点からシミュレーションを再開し、丸められた値（0.506127の代わりに0.506）を入力した。結果は元のシミュレーションと完全に異なるものになった。千分の一の丸め誤差が増幅され、2つのシミュレーションはまったく似ていなくなったのだ。Lorenzは初期値への敏感性を発見した——カオスの特徴である。
The Lorenz Attractor
Lorenzの簡略化された天気方程式は「奇妙なアトラクタ」を生む——位相空間内の軌跡は決して繰り返されないが有界領域内に留まり、蝶形の曲線を永遠に描き続ける。奇妙なアトラクタはフラクタルだ。分数次元を持つのである。Lorenzアトラクタの次元はおよそ2.06であり、表面と立体の間である。
Fractals
Benoît Mandelbrotは1970年代にフラクタル幾何学を開発した。分数次元を持つ自己相似構造は、カオスシステム、海岸線、雲、肺、金融市場に現れる。Mandelbrot集合——複素平面における反復z → z² + cで生成される境界——は20世紀で最も有名な数学的対象であり、カオス理論の視覚的豊かさの象徴だ。
決定論と予測可能性
カオスはランダム性を意味しない。カオスシステムは完全に決定論的だ。同じ初期条件は常に同じ結果をもたらす。予測不可能性は測定の限界から生じる。初期条件を無限精度で知ることはできず、カオスシステムではどんな有限精度も最終的には指数関数的な誤差増加に圧倒されるのだ。
Frequently Asked Questions
バタフライ効果とは何か？
バタフライ効果は、カオスシステムにおける初期値への敏感性の一般的な呼び方だ。わずかな摂動（蝶が羽ばたくなど）が、連鎖的な増幅効果を通じて、大きな結果の違い（数千マイル離れた場所での竜巻など）をもたらしうるという考えである。気象学者Edward Lorenzが1963年に記述した。
カオスはランダムさと同じか？
いいえ。カオスシステムは完全に決定論的だ。同じ初期条件は常に同じ進化をもたらす。カオスが実務的に予測不可能なのは、測定誤差が指数関数的に増幅するためであり、本質的なランダム性があるからではない。ランダムシステム（量子力学など）は根本的に予測不可能だが、カオスシステムは単に実務的に予測不可能なだけだ。
What is a fractal?
フラクタルは、異なるスケールで自己相似性を示す幾何学的形状だ。ズームインしてもズームアウトしても似ている。フラクタルは通常、非整数次元を持つ（線と表面の間など）。自然に現れ（海岸線、雪の結晶、肺、ブロッコリー）、反復プロセスによって数学的に生成される。Benoît Mandelbrotは1970年代にフラクタル幾何学を開発した。
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