Pál Turán: Teoremi da un campo di lavoro

Nel luglio 1944, un ebreo ungherese ai lavori forzati spingeva vagoni di mattoni su binari in una fabbrica vicino a Budapest. Dove i binari si incrociavano, i vagoni sobbalzavano e il lavoro diventava più difficile. La maggior parte degli uomini avrebbe maledetto gli incroci. Turán iniziò a chiedersi quale fosse il numero minimo possibile di incroci per m forni e n magazzini — e così facendo pose quello che oggi viene chiamato il problema della fabbrica di mattoni di Turán, una delle domande fondanti della teoria dei numeri di incrocio. Era un prigioniero. In quel momento stava anche facendo matematica.

Budapest, Fejér e una porta chiusa

Turán nacque il 18 agosto 1910 a Budapest, allora Austria-Ungheria, in una famiglia ebrea ungherese. Il suo talento si manifestò alle scuole superiori. Ottenne la laurea in insegnamento all'Università di Budapest nel 1933 e il dottorato nel 1935 all'Università Eötvös Loránd sotto la guida di Lipót Fejér, figura centrale dell'analisi ungherese.

Pubblicò due articoli significativi nel 1933, nelle riviste delle Società Matematiche Americana e di Londra. Non fece alcuna differenza per la sua occupabilità. Le leggi ungheresi sul numerus clausus che limitavano la partecipazione ebraica all'istruzione superiore lo tennero lontano da un lavoro accademico stabile per anni, e la posizione che ottenne finalmente nel 1938 fu in una scuola di formazione rabbinica a Budapest. Ecco un matematico che pubblica a livello internazionale a ventitré anni e insegna in un seminario a ventotto perché lo Stato lo aveva legalmente escluso dall'università.

Incontro con Erdős

Il 1° settembre 1930, durante un seminario di matematica all'Università di Budapest, Turán incontrò Paul Erdős. Entrambi erano stati noti risolutori di problemi nella rivista KöMaL da scolari. La collaborazione iniziata quel giorno durò quarantasei anni e produsse ventotto articoli congiunti — una delle grandi partnership sostenute della matematica del XX secolo, e la fonte di gran parte di ciò che sappiamo sul carattere di Turán, perché Erdős scrisse a lungo su di lui e non lo adulò.

Cinque anni nei campi

Nel settembre 1940 Turán fu arrestato a causa della sua eredità ebraica e mandato nei campi di lavoro. Trascorse cinque anni in vari campi tra la Transilvania e l'Ungheria.

Il periodo avrebbe dovuto essere un vuoto nella sua bibliografia. Non lo fu. Un ufficiale di nome Joshef Winkler, lui stesso formato in matematica, riconobbe il nome di Turán e organizzò compiti più leggeri per lui. Turán usò il margine che questo gli offrì. Compose un articolo importante sulla funzione zeta di Riemann mentre era internato, e si mantenne integro risolvendo problemi nella sua testa e riflettendo sui problemi. L'osservazione della fabbrica di mattoni arrivò nel luglio 1944; la riprese seriamente solo dopo il 1952, ma la domanda nacque sui binari.

Erdős lo disse chiaramente: Turán "non perse lo spirito nemmeno nei campi nazisti e vi fece un lavoro brillante". Fu liberato nel 1944 e tornò all'insegnamento.

Teoria dei grafi estremale

La cosa più importante che Turán costruì, la costruì mentre era prigioniero. Erdős ancora: "Nel 1940–1941 creò l'area dei problemi estremali nella teoria dei grafi, che è ora uno dei soggetti a più rapida crescita nella combinatoria".

Il risultato fondante, il teorema di Turán, fornisce un limite superiore sul numero di archi che un grafo può avere senza contenere un sottografo completo su r vertici. Per dimostrarlo inventò il grafo di Turán, una generalizzazione dei grafi bipartiti completi. L'importanza del teorema non è il limite specifico ma la forma di domanda che stabilì: quanta struttura puoi avere prima che qualche schema sia forzato ad apparire? Quella domanda, posta in migliaia di contesti da allora, è ciò che è la combinatoria estremale. Il teorema di Kővári–Sós–Turán estese l'approccio ai grafi bipartiti con sottografi proibiti.

Il crivello e la somma di potenze

La teoria dei numeri era il suo campo principale. Il crivello di Turán, del 1934, fornì una prova semplificata di un risultato del 1917 di Hardy e Ramanujan sull'ordine normale del numero di divisori primi distinti. Halász identificò il suo vero significato: "Il suo vero significato risiede nel fatto che fu il punto di partenza della teoria probabilistica dei numeri". Una semplificazione che fonda una disciplina non è una semplificazione. La disuguaglianza di Turán–Kubilius generalizzò il lavoro.

Coniò il termine "corsa dei numeri primi" per le irregolarità nel modo in cui i primi si distribuiscono tra le classi di residui, lavorando con Knapowski su risultati riguardanti il bias di Chebyshev. La congettura di Erdős–Turán riguarda i primi in progressione aritmetica. E sviluppò il metodo della somma di potenze, una tecnica per le disuguaglianze sulle somme di potenze degli zeri della funzione zeta di Riemann, con applicazioni che raggiungono l'analisi complessa, l'analisi numerica, le equazioni differenziali, la teoria dei numeri trascendenti e la stima degli zeri in generale.

Sull'ipotesi stessa, Erdős registrò che Turán era "un 'incredulo', anzi, un 'pagano': non credeva nella verità dell'ipotesi di Riemann". La sua analisi produsse le disuguaglianze di Turán sui polinomi di Legendre e, con Erdős, la disuguaglianza di equidistribuzione di Erdős–Turán.

Una diagnosi tenuta segreta

Divenne professore associato all'Università di Budapest nel 1945 e professore ordinario nel 1949. Il Premio Kossuth arrivò nel 1948 e di nuovo nel 1952; fu eletto membro corrispondente dell'Accademia Ungherese delle Scienze nel 1948 e membro ordinario nel 1953. Fondò e presiedette la Società Matematica János Bolyai, sedette nei comitati editoriali di riviste di primo piano, parlò al Congresso Internazionale dei Matematici nel 1970 e fu invitato al comitato del Premio Fields quell'anno. Il Premio Tibor Szele seguì nel 1975.

Sposò Edit Kóbor nel 1939, con cui ebbe un figlio, Róbert; nel 1952 sposò la matematica Vera Sós, con cui pubblicò congiuntamente e ebbe due figli, György e Tamás.

Intorno al 1970 gli fu diagnosticata la leucemia. Solo Vera lo sapeva. Scelse di non dirglielo, credendo che fosse "troppo innamorato della vita" e che si sarebbe disperato. Lo disse a Erdős solo nel 1976. Erdős in seguito lamentò il costo: non sapendo che il suo tempo era breve, Turán rimandò certi lavori "a più tardi" e non li completò mai.

Perché Pál è chiamato un genio

La facoltà specifica è la creazione di problemi al livello di intere discipline. I teoremi individuali di Turán sono forti, ma la sua firma è che tre aree separate tracciano la loro origine fino a lui: la teoria dei grafi estremale, che Erdős gli attribuisce esplicitamente di aver creato nel 1940–41; la teoria probabilistica dei numeri, che Halász dice iniziò con il suo crivello del 1934; e la teoria dei numeri di incrocio, che iniziò con i mattoni. Fondare un campo è una carriera. Fondarne tre è un'altra cosa — un istinto insolito per la domanda sottostante alla domanda, la cui forma generale è un'istanza di una difficoltà specifica.

Le circostanze acuiscono l'affermazione piuttosto che decorarla semplicemente. Creò la teoria dei grafi estremale in un campo di lavoro, senza biblioteca, senza colleghi e senza carta, tenendo le strutture nella sua testa. Erdős, che non era sentimentale sulle capacità matematiche e conosceva tutti quelli che valeva la pena conoscere, disse che vi fece un lavoro brillante.

Il contro-argomento è più sottile del solito ma reale. Erdős fu il suo amico più stretto per quarantasei anni e il suo valutatore più citato, il che non è una fonte indipendente. Il metodo della somma di potenze di Turán, nonostante tutta la sua portata, non ha risolto l'ipotesi di Riemann a cui non credeva. I suoi onori — due Premi Kossuth, il Premio Szele, l'appartenenza all'accademia — sono riconoscimenti nazionali ungheresi piuttosto che i massimi premi internazionali della disciplina. E la crescita esplosiva della teoria dei grafi estremale deve molto a coloro che l'hanno sviluppata dopo di lui. Egli pose la domanda; altri costruirono il soggetto.

Eredità

Turán morì di leucemia a Budapest il 26 settembre 1976, all'età di sessantasei anni, ancora ignaro di ciò che lo stava uccidendo. Ogni corso di combinatoria ora insegna il suo teorema, e la teoria probabilistica dei numeri data la sua fondazione a un crivello che ideò a ventiquattro anni. Il problema della fabbrica di mattoni rimane aperto in generale. È un monumento appropriato: una domanda posta da un prigioniero che osservava incroci di binari, che la disciplina non ha ancora finito di rispondere.