Marc Lackenby: L'uomo che ha sciolto il nodo banale

"Non si conosce ancora alcun metodo sistematico con cui si possa stabilire se due nodi sono uguali". Lo disse Alan Turing nel 1954, segnalando uno dei problemi matematici concreti più ostinatamente irrisolti: dato un groviglio di corda con le estremità unite, decidere se sia veramente annodato. Max Dehn lo aveva posto nel 1910. Wolfgang Haken produsse il primo algoritmo nel 1961, ma era disperatamente lento su qualsiasi cosa complicata. Il 2 febbraio 2021, all'UC Davis, Marc Lackenby ha annunciato che la questione poteva essere risolta in n elevato alla potenza c log n passaggi — tempo quasi-polinomiale, a un soffio dall'efficienza che gli informatici considerano il segno di un problema genuinamente trattabile. I matematici di Oxford l'hanno definito un tour-de-force gordiano.

Cambridge e la scuola di Lickorish

Lackenby andò a Cambridge per studiare matematica nel 1990 e vi rimase per il dottorato, completato nel 1997 sotto W. B. R. Lickorish con una tesi intitolata "Dehn Surgery and Unknotting Operations". Lickorish è una delle figure centrali nella teoria dei nodi del ventesimo secolo, e gli argomenti della tesi — la chirurgia di Dehn e lo scioglimento dei nodi — sarebbero rimasti riconoscibilmente i soggetti di Lackenby un quarto di secolo dopo. Pochi matematici scelgono il loro territorio così presto e continuano poi a trovarvi cose nuove.

Ha ricoperto una Miller Research Fellowship all'UC Berkeley e una borsa di ricerca di ritorno a Cambridge prima di trasferirsi a Oxford nel 1999 come docente e Fellow del St Catherine's College. La promozione a professore ordinario è seguita nel 2006. Il suo lavoro spazia tra la teoria dei nodi, la topologia a bassa dimensione e la teoria dei gruppi — tre argomenti che in tre dimensioni risultano essere più o meno lo stesso argomento visto da angolazioni diverse.

Riempire i buchi

La chirurgia di Dehn è l'operazione al centro della topologia tridimensionale: ritagliare un tubo solido attorno a un nodo, quindi incollarlo di nuovo in modo diverso. Quasi ogni varietà tridimensionale può essere prodotta in questo modo, quindi comprendere l'operazione significa comprendere gli oggetti.

La domanda che conta è quando il risultato rimane iperbolico — la geometria iperbolica essendo la struttura che rende una varietà tridimensionale rigida e analizzabile, e la sua assenza è dove inizia la natura selvaggia. Il teorema 2π fornisce un criterio geometrico che garantisce che la chirurgia preservi l'iperbolicità. Lackenby ne ha dimostrato una versione rafforzata. Questo è un tipo di risultato caratteristico per lui: non la scoperta di un nuovo paesaggio ma l'affilatura di una linea di confine esistente, fatta abbastanza bene da far cadere molto più territorio sul lato utile di essa.

Nodi alterni e volume

Un secondo filo collega l'immagine di un nodo alla sua geometria. Disegna un nodo come un diagramma su una pagina e avrai la combinatoria — incroci, archi, regioni. Considera lo spazio attorno al nodo e avrai la geometria, con un volume iperbolico ad esso associato. Questi sono tipi di informazioni completamente diversi, e metterli in relazione è uno dei progetti profondi del settore.

Lackenby ha prodotto limiti sul volume iperbolico dei complementi di nodo per i nodi alterni — la classe in cui gli incroci si alternano sopra, sotto, sopra, sotto mentre percorri il nodo — legando un invariante geometrico a qualcosa che puoi letteralmente contare su un disegno. Risultati di questo tipo sono ciò che rende la geometria dei nodi calcolabile piuttosto che semplicemente contemplabile.

I movimenti di Reidemeister, contati

Qualsiasi diagramma di un nodo può essere trasformato in qualsiasi altro diagramma dello stesso nodo da una sequenza di tre manipolazioni elementari, i movimenti di Reidemeister. Questo è noto dagli anni '20, ed è inutile di per sé: nulla ti dice quanti movimenti sono necessari, e la sequenza potrebbe dover passare attraverso diagrammi molto più disordinati di entrambi i punti finali prima di semplificarsi. È esattamente per questo che sciogliere un nodo è difficile — spesso devi rendere un groviglio peggiore prima che possa migliorare.

Lackenby ha dimostrato che un diagramma del nodo banale può essere sciolto in un numero di movimenti di Reidemeister polinomiale rispetto al numero di incroci. Il pessimismo era fuori luogo. C'è sempre un percorso ragionevolmente breve verso il cerchio banale, anche se trovarlo è un'altra questione.

Tempo quasi-polinomiale

Il che ci porta al 2021. Il problema del riconoscimento del nodo banale aveva accumulato molti algoritmi dopo quello di Haken, attingendo alla topologia e alla geometria, e quasi tutti erano catastroficamente lenti una volta che i nodi diventavano complicati. Se esistesse un algoritmo a tempo polinomiale era diventato una delle famose questioni aperte al confine tra topologia e informatica. William Thurston, nel 2011, lo disse chiaramente: "Molte persone hanno pensato a questa domanda... ma questa è stata una domanda molto difficile da risolvere".

Il limite n^(c log n) di Lackenby non lo risolve del tutto. Il quasi-polinomiale è più lento del polinomiale. Ma il divario tra quasi-polinomiale e tutto ciò che è venuto prima è enorme, e il divario tra quasi-polinomiale e polinomiale è, in termini pratici e concettuali, piccolo. Un problema che Turing aveva elencato tra gli indomabili è ora, essenzialmente, domato.

Perché Marc è chiamato genio

La qualità in mostra non è la velocità e non l'ampiezza. È una sorta di profondità paziente: restare con lo stesso gruppo di domande — chirurgia di Dehn, scioglimento dei nodi, geometria dei complementi di nodo — per venticinque anni, accumulando tecnica finché problemi che avevano resistito a generazioni non sono diventati raggiungibili. Il risultato sul nodo banale è la prova più chiara, perché non è caduto grazie a un trucco intelligente. È caduto davanti a qualcuno che aveva trascorso una carriera costruendo la macchina specifica richiesta e poteva vedere, dove altri non potevano, quale combinazione di strumenti topologici e geometrici si sarebbe composta.

Il riconoscimento dei suoi pari è stato coerente piuttosto che sensazionale: il Whitehead Prize della London Mathematical Society nel 2003, un Philip Leverhulme Prize in matematica e statistica nel 2006, un invito a parlare al Congresso Internazionale dei Matematici nel 2010 — il segnale più affidabile della disciplina che un corpo di lavoro conta. L'annuncio del 2021 ha utilizzato il linguaggio più forte, con Oxford che ha ricorso al termine "tour-de-force".

Il contro-argomento deve essere dichiarato. Nessuna fonte registra che qualcuno abbia chiamato Lackenby un genio, e la cultura matematica a cui appartiene è notevolmente parca con la parola. Il suo lavoro si basa direttamente su Haken, Thurston, Lickorish e l'intera tradizione delle superfici normali; l'algoritmo quasi-polinomiale è un miglioramento spettacolare all'interno di un quadro stabilito, non un nuovo quadro. Inoltre non è polinomiale, il che significa che la domanda principale è ancora tecnicamente aperta. E la topologia a bassa dimensione, nonostante tutta la sua bellezza, è un campo specialistico — i suoi risultati sono famosi tra i topologi e ampiamente sconosciuti all'esterno. Ciò che è indiscutibile è che ha risolto qualcosa che resisteva da un secolo, e lo ha fatto conoscendo la propria materia più a fondo di chiunque altro.

Eredità

Ciò che Lackenby ha fatto, attraverso tutti e quattro i filoni del suo lavoro, è rendere la teoria dei nodi effettiva. Limitare i volumi contando gli incroci, limitare lo scioglimento dei nodi contando i movimenti, limitare il riconoscimento contando i passaggi — in ogni caso un oggetto che poteva essere contemplato è diventato un oggetto che può essere calcolato. Quel cambiamento è ciò che trasforma una bella teoria in una utilizzabile, ed è il motivo per cui il risultato del 2021 ha viaggiato ben oltre la topologia nell'informatica teorica. Dehn ha posto la domanda nel 1910. Ci sono voluti 111 anni e un professore a Oxford che si è rifiutato di lavorare su altro.