Karen Uhlenbeck: l'analista che ha ricostruito la geometria

Una pellicola di sapone tesa su una cornice di filo metallico si stabilizza nella superficie più piccola che riesce a trovare. Karen Uhlenbeck ha costruito la sua carriera su ciò che accade quando questo non è possibile — quando il processo di minimizzazione dell'energia fallisce in punti isolati e si concentra in ciò che i matematici chiamano oggi una bolla (bubble). L'articolo che scrisse con Jonathan Sacks descrivendo quel fallimento ha diviso la disciplina a metà. "C'è stato un prima dell'articolo di Sacks-Uhlenbeck, e un dopo", ha detto il geometra François Labourie. Nel 2019 è diventata la prima donna a ricevere il Premio Abel.

Cleveland e una tessera della biblioteca

Karen Keskulla Uhlenbeck è nata il 24 agosto 1942 a Cleveland, in Ohio, la maggiore dei quattro figli di Arnold Keskulla, ingegnere, e Carolyn Windeler Keskulla, artista. È cresciuta in campagna e leggeva in modo compulsivo. "Da bambina leggevo molto, e leggevo di tutto", ha ricordato. "Andavo in biblioteca e poi restavo sveglia tutta la notte a leggere". Verso i dodici anni, suo padre le diede i libri di astrofisica di Fred Hoyle; Uno, due, tre... infinito (One, Two, Three... Infinity) di George Gamow la conquistò perché spiegava che esistono diverse dimensioni dell'infinito.

Ha frequentato l'Università del Michigan con l'intenzione di studiare fisica e ha conseguito una laurea in matematica nel 1964. È seguito un master a Brandeis nel 1966 e un dottorato lì nel 1968 sotto la guida di Richard Palais.

Una porta che non voleva aprirsi

Poi la carriera si è bloccata, per ragioni che non avevano nulla a che fare con la matematica. Dopo un anno di post-dottorato al MIT e due anni di insegnamento a Berkeley, la Uhlenbeck non riuscì a ottenere un posto fisso. È stata diretta sul motivo. "Mi è stato detto... che le persone non assumevano donne, che le donne avrebbero dovuto andare a casa a fare figli". Le università che volevano suo marito — MIT, Stanford, Princeton — si rifiutarono di assumerla, invocando regole anti-nepotismo per far sembrare il rifiuto una procedura.

Ha accettato un posto all'Università dell'Illinois a Urbana-Champaign nel 1971, e suo marito ha seguito la sua carriera invece del contrario. Da lì si è trasferita all'Università dell'Illinois a Chicago ed è stata promossa a professoressa ordinaria. Una borsa MacArthur nel 1983 l'ha portata all'Università di Chicago, e dal 1988 occupa la cattedra Sid W. Richardson Foundation Regents all'Università del Texas ad Austin.

Effetto bolla (Bubbling)

Il lavoro di Sacks-Uhlenbeck riguardava le mappe armoniche: cosa succede ai funzionali di energia per le mappe da superfici a spazi curvi. La coppia ha dimostrato che le sequenze che minimizzano l'energia convergono a mappe armoniche quasi ovunque, ma che in punti isolati l'analisi fallisce e una quantità di energia pari a una sfera si stacca — si formano delle bolle. L'intuizione non è stata che il metodo si fosse rotto, ma che la rottura avesse una struttura precisa e classificabile. Le singolarità hanno smesso di essere un'ostruzione e sono diventate un oggetto di studio. Il bubbling è ora un equipaggiamento standard in tutta l'analisi geometrica.

Teoria di Gauge e la rivoluzione di Donaldson

All'inizio degli anni '80, la Uhlenbeck ha rivolto i medesimi istinti analitici alle equazioni di Yang-Mills, la matematica alla base della fisica dei campi di gauge. Ha introdotto nuovi sistemi di coordinate adattati al problema, ha dimostrato un teorema di compattezza per connessioni a curvatura limitata e ha stabilito i suoi risultati sulle singolarità eliminabili — dimostrando, in effetti, che in quattro dimensioni i punti problematici possono essere colmati.

Questa era la strumentazione che un intero settore stava aspettando. I suoi strumenti hanno reso possibile l'utilizzo geometrico degli istantoni, che è ciò che Simon Donaldson ha fatto nel lavoro che gli è valso una Medaglia Fields. La valutazione di Donaldson stesso è che i risultati della Uhlenbeck "sostengono la maggior parte del lavoro successivo in quest'area".

Sistemi integrabili e un campo tutto suo

Con Nigel Hitchin e Chuu-Lian Terng, la Uhlenbeck ha dimostrato che le mappe armoniche da superfici a spazi omogenei si presentano in famiglie a un parametro, collegandole a sistemi integrabili a dimensione infinita — un ponte tra la geometria e la strumentazione algebrica della teoria dei solitoni.

Nel complesso, il lavoro equivale a fondare l'analisi geometrica moderna: la fusione deliberata di complesse equazioni differenziali alle derivate parziali con la topologia e la geometria. La descrizione che la Uhlenbeck dà del suo lavoro è tipicamente poco glamour — come "saltare da un trampolino senza sapere cosa sarebbe successo".

Fare spazio

Non ha trattato il suo percorso nella professione come una questione privata. La Uhlenbeck ha co-fondato il programma Women and Mathematics all'Institute for Advanced Study di Princeton e ha contribuito a stabilire il Park City Mathematics Institute; il suo tutoraggio verso le donne matematiche è abitualmente definito leggendario. Si è rifiutata di accettare l'auto-compiacimento della disciplina riguardo ai progressi compiuti. Ricevendo il Premio Steele dell'AMS nel 2007, ha detto: "Rimango piuttosto delusa dal numero di donne che fanno matematica e occupano posizioni di leadership. Questo è, a mio avviso, dovuto principalmente alla cultura della comunità matematica e alle dure pressioni sociali dall'esterno".

Gli onori si sono accumulati: la MacArthur nel 1983, l'American Academy of Arts and Sciences nel 1985, le AMS Colloquium Lectures lo stesso anno, la National Academy of Sciences nel 1986, la conferenza Noether nel 1988, un discorso plenario al Congresso internazionale dei matematici nel 1990 — solo la seconda donna a tenerne uno —, la National Medal of Science nel 2000 "per i suoi numerosi contributi pionieristici alla geometria globale", il Premio Steele nel 2007, il Premio Abel nel 2019, una borsa AWM nel 2020 e una borsa della Royal Society nel 2023.

Perché Karen è definita un genio

La facoltà in questione è uno specifico tipo di coraggio: l'istinto della Uhlenbeck è di andare direttamente al punto in cui un metodo crolla. La maggior parte dei matematici aggira le singolarità. Lei ha trattato il luogo in cui l'analisi fallisce come il luogo in cui vive realmente la geometria, e poi ha costruito l'apparato tecnico per descriverlo. Ecco perché i suoi risultati funzionano come infrastruttura — il bubbling, la compattezza, le singolarità eliminabili non sono tanto teoremi che la gente cita, quanto strumenti che la gente usa senza accorgersene.

Le persone che lo dicono non sono pubblicisti. La menzione del Premio Abel le riconosce "risultati pionieristici nelle equazioni differenziali parziali geometriche, nella teoria di gauge e nei sistemi integrabili" e un "impatto fondamentale" sull'analisi, la geometria e la fisica matematica, e l'Accademia norvegese ha descritto il suo lavoro come capace di produrre alcuni dei progressi più drammatici in matematica degli ultimi quarant'anni. Donaldson dice che i suoi risultati sostengono il campo. Sun-Yung Alice Chang osserva che "la sua influenza attraversa i diversi rami della matematica". Labourie traccia una linea attraverso la storia in corrispondenza di uno dei suoi articoli.

Il contro-argomento onesto ha due parti. Primo, i suoi risultati emblematici sono abilitanti: l'analisi che ha fornito ha reso possibili i teoremi principali di altre persone, e la Medaglia Fields per la geometria degli istantoni è andata a Donaldson. Stabilire se questo faccia di lei la figura più importante o meno è un argomento genuino, non risolto. Secondo, il riconoscimento è arrivato tardi ed è ora inseparabile dal fatto di essere stata la prima — un'inquadratura che rischia di trasformare un'analista formidabile in un simbolo e di ignorare silenziosamente la matematica. La Uhlenbeck stessa è stata attenta a non pretendere mai la chiaroveggenza. Il suo stesso resoconto del lavoro è che è saltata da un trampolino senza sapere cosa ci fosse sotto.

Eredità

L'analisi geometrica esiste come materia coerente in gran parte perché la Uhlenbeck ha insistito sul fatto che le tecniche analitiche più difficili disponibili dovessero appartenere alla geometria. Le bolle che lei e Sacks hanno trovato alla fine degli anni '70 sono ora una parte standard del modo in cui i matematici pensano ai limiti e al fallimento, e le donne che sono entrate nel campo attraverso il suo programma di Princeton costituiscono un secondo corpo di lavoro meno facilmente citabile.