Georg Cantor: L'uomo che ha reso l'infinito numerabile

Nel gennaio 1874, Cantor pose un quesito al suo amico Richard Dedekind: "Si può mettere in relazione univoca una superficie (diciamo un quadrato che include il confine) con una linea... in modo tale che per ogni punto della superficie ci sia un punto corrispondente della linea e, viceversa?" Supponeva che la risposta fosse ovviamente no. Tre anni dopo dimostrò che era sì — che un intero quadrato, e persino uno spazio di un qualsiasi numero di dimensioni, contiene esattamente tanti punti quanto un singolo segmento di linea. Scrisse subito a Dedekind: "Lo vedo, ma non ci credo!"

Figlio di un mercante a San Pietroburgo

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nacque il 3 marzo 1845 a San Pietroburgo. Suo padre, Georg Waldemar Cantor, era un mercante di successo; sua madre, Maria Anna Böhm, era russa e notevolmente musicale. Nel 1856, quando Georg aveva undici anni, la salute del padre costrinse la famiglia a trasferirsi in Germania, dove si stabilirono inizialmente a Wiesbaden.

Frequentò il ginnasio a Francoforte e la Realschule a Darmstadt, diplomandosi nel 1860 con voti eccezionali in matematica e trigonometria. Suo padre lo destinava all'ingegneria; Cantor ottenne il permesso di studiare matematica al suo posto. Entrò al Politecnico di Zurigo nel 1862 e, dopo la morte del padre nel giugno 1863, si trasferì all'Università di Berlino, dove studiò sotto Weierstrass, Kummer e Leopold Kronecker, e divenne amico di Hermann Schwarz. La sua tesi, sulle equazioni indeterminate, fu completata nel 1867.

Halle e il problema di Heine

Dopo un periodo di insegnamento in una scuola femminile di Berlino, Cantor si unì all'Università di Halle nel 1869 — l'istituzione provinciale dove avrebbe trascorso l'intera carriera. Il suo collega Heine gli propose un problema di lunga data sulla unicità delle rappresentazioni in serie trigonometriche. Cantor lo risolse entro l'aprile 1870.

Quel problema è il seme di tutto. Seguire i punti eccezionali dove una tale serie potrebbe comportarsi male lo costrinse a pensare intensamente agli insiemi infiniti di punti, e entro il 1872 aveva definito i numeri irrazionali tramite successioni convergenti di razionali e iniziato la corrispondenza con Dedekind che lo avrebbe sostenuto per un decennio.

Più di un infinito

Nel 1874, Cantor pubblicò il risultato che sconvolse il mondo. Dimostrò che i numeri razionali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali — sono numerabili — mentre i numeri reali non possono. Non c'è un solo infinito; ce ne sono almeno due, e sono di dimensioni diverse.

Il metodo era il criterio che aveva inventato: due collezioni hanno la stessa dimensione se i loro membri possono essere accoppiati esattamente, indipendentemente da quanto siano grandi. Sembrava un trucco, e le sue conseguenze furono immediate e scandalose. Cantor osservò che ne seguiva che "quasi tutti" i numeri sono trascendenti anziché algebrici — una prova di esistenza per un'intera classe di numeri, ottenuta senza mostrarne nemmeno uno.

Il transfinito

Il suo articolo del 1878 nel Journal di Crelle introdusse il termine "insiemi denumerabili". L'ostilità di Kronecker bloccò quasi la sua pubblicazione e Dedekind dovette intervenire; Cantor non sottopose mai più lavori a Crelle.

Tra il 1879 e il 1884 pubblicò sei articoli nei Mathematische Annalen fondando la teoria degli insiemi. I Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre del 1883 presentarono i numeri transfiniti come "un'estensione autonoma e sistematica dei numeri naturali" — non come espedienti o limiti, ma numeri che si possono ordinare e con cui si può fare aritmetica. Sapeva cosa stava facendo: "Mi rendo conto che in questa impresa mi pongo in una certa opposizione alle opinioni ampiamente diffuse riguardanti l'infinito matematico."

Denotò i cardinali transfiniti con la lettera ebraica aleph, ℵ₀ essendo il più piccolo, ed espresse la dimensione dei numeri reali come 2^ℵ₀. Ciò sollevò la questione che consumò il resto della sua vita. Il continuo è il prossimo infinito dopo quello numerabile — è 2^ℵ₀ = ℵ₁? Contro il costruttivismo di Kronecker, emise il suo manifesto: "l'essenza della matematica risiede precisamente nella sua libertà."

Crollo, Bacon e il Papa

Cantor soffrì della sua prima depressione registrata nel maggio 1884. La vecchia storia narra che la persecuzione di Kronecker lo abbia fatto impazzire; la lettura moderna inverte la causalità, sostenendo che la depressione abbia amplificato le sue preoccupazioni matematiche anziché essere prodotta da esse. Alternò per anni la convinzione di aver provato l'ipotesi del continuo come vera a quella di averla provata come falsa, trovando ogni volta l'errore.

Nel 1885, Mittag-Leffler lo persuase a ritirare un articolo da Acta Mathematica con la motivazione che fosse in anticipo di circa cento anni. La battuta di Cantor fu amara: "Se Mittag-Leffler avesse ottenuto ciò che voleva, avrei dovuto aspettare fino all'anno 1984, il che mi sembrava una richiesta troppo grande!" La loro corrispondenza finì effettivamente, e con essa lo slancio creativo di dodici anni che aveva costruito la teoria degli insiemi.

Nei suoi periodi depressivi, si volse alla filosofia e alla letteratura, fissandosi sulla teoria che Francis Bacon avesse scritto le opere di Shakespeare e pubblicando opuscoli a riguardo nel 1896-97. Era anche intensamente religioso e credeva che i numeri transfiniti gli fossero stati comunicati da Dio. Corrispose con teologi cattolici sulla natura dell'infinito e scrisse direttamente a Papa Leone XIII, sperando che la sua matematica potesse informare la dottrina della chiesa.

Gli ultimi decenni

Fondò la Deutsche Mathematiker-Vereinigung intorno al 1890 e ne fu il primo presidente. I suoi ultimi articoli importanti, nel 1895 e 1897, esaminarono l'aritmetica transfinità e gli insiemi ben ordinati. Al Congresso Internazionale di Zurigo del 1897 fu lodato pubblicamente da Hurwitz e Hadamard e si riconciliò con Dedekind.

A quel punto aveva trovato le crepe egli stesso, informando Hilbert nel 1896 dei paradossi che si annidavano nella teoria degli insiemi; Burali-Forti ne pubblicò uno indipendentemente nel 1897. I lutti personali arrivarono in fretta — sua madre nell'ottobre 1896, suo fratello nel gennaio 1899 e il suo figlio più giovane il 16 dicembre 1899. La depressione dominò il resto della sua vita, e dopo il 1900 trascorse lunghi periodi nella Nervenklinik di Halle, prendendosi pause dall'insegnamento negli inverni del 1902-03, 1904-05 e 1907-08. Ricevette la Copley Medal della Royal Society e un dottorato onorario da St Andrews, recandovisi nel 1911 per il 500° anniversario dell'università. Morì di infarto ad Halle il 6 gennaio 1918.

Perché Georg è chiamato un genio

Hilbert stesso fornì la parola, definendo il lavoro di Cantor "il prodotto più bello del genio matematico e uno dei risultati supremi della pura attività intellettuale umana". La qualità specifica era la volontà di fidarsi di una definizione piuttosto che di un'intuizione. Tutti prima di lui trattavano l'infinito come una direzione, non come una quantità. Cantor propose un criterio per l'uguaglianza di dimensione — accoppiamento esatto — lo applicò senza esitazione a collezioni infinite, e lo seguì ovunque portasse, incluse conclusioni che lui stesso non poteva credere. "Lo vedo, ma non ci credo" è la frase di un uomo trascinato dalla propria logica, che prosegue comunque.

Il contro-argomento vale la pena di essere esposto. Non risolse mai l'ipotesi del continuo, e ripetutamente si convinse di averlo fatto — in entrambe le direzioni — prima di trovare i suoi errori, il che riflette tanto sul suo giudizio quanto sulla profondità del problema. Gödel e Cohen mostrarono infine che l'ipotesi è indipendente dagli assiomi standard, quindi ciò che inseguì per trent'anni non era lì per essere catturato. Ciò che costruì era anche incompiuto e incoerente: scoprì paradossi nel suo stesso sistema, e ci vollero l'assiomatizzazione di Zermelo, e più tardi quella di Fraenkel e von Neumann, per rendere sicura la teoria degli insiemi. La sua convinzione che i numeri transfiniti venissero da Dio, il suo lobbismo presso il Vaticano e i suoi opuscoli baconiani suggeriscono una certezza non sempre ben calibrata. E non ottenne mai la prestigiosa cattedra che desiderava, trascorrendo quarant'anni ad Halle.

Eredità

La teoria degli insiemi divenne il fondamento su cui poggia la matematica moderna, dai Principia Mathematica agli assiomi di Zermelo-Fraenkel che i matematici usano ancora. Il tributo di Hilbert è quello che è rimasto: nessuno ci scaccerà dal paradiso che Cantor ha creato.