Francis Bonahon: Mappare la forma di tre dimensioni

L'intuizione geometrica della maggior parte delle persone si ferma ai piani piatti e ai solidi familiari. Francis Bonahon ha trascorso la sua carriera all'interno di un territorio più insolito: lo spazio delle forme tridimensionali che possono essere allungate, senza strappi, in una curvatura iperbolica uniforme, la geometria che Einstein un giorno definì "la geometria della pseudosfera" e che i topologi oggi sanno essere alla base della maggior parte delle varietà tridimensionali. Lavorando tra teoria dei nodi, geometria iperbolica e spazi di deformazione delle superfici, Bonahon ha trascorso quattro decenni contribuendo a trasformare quel territorio un tempo esotico in uno dei terreni meglio compresi della topologia moderna.

Da Tarbes all'École Normale Supérieure

Bonahon è nato il 9 settembre 1955 a Tarbes, una cittadina ai piedi dei Pirenei francesi, e ha conseguito il baccalauréat nel 1972 prima di entrare due anni dopo all'École Normale Supérieure di Parigi, l'istituto di formazione d'élite francese per i ricercatori in matematica. Ha ottenuto una maîtrise in matematica presso l'Università di Parigi VII nel 1975, per poi trasferirsi all'Università di Parigi XI a Orsay per il dottorato sotto la supervisione di Laurence Siebenmann, uno dei principali topologi dell'epoca. La sua tesi di dottorato del 1979, "Involutions et fibrés de Seifert dans les variétés de dimension 3" ("Involuzioni e fibrazioni di Seifert nelle varietà tridimensionali"), e la sua tesi di abilitazione del 1985, "Geometric structures on 3-manifolds and applications", segnano i due estremi del periodo — all'incirca il decennio successivo al programma di geometrizzazione rivoluzionario di William Thurston che ha trasformato il settore — durante il quale la topologia delle 3-varietà e la geometria iperbolica sono diventate inseparabili.

Dal CNRS alla USC

Dopo un anno post-dottorato come Procter Fellow a Princeton nel 1979-1980, Bonahon ha trascorso la prima metà degli anni Ottanta nel sistema di ricerca nazionale francese, il CNRS, passando da attaché de recherche nel 1980 a chargé de recherche nel 1983, un lavoro riconosciuto con una medaglia di bronzo del CNRS nel 1985, un riconoscimento di inizio carriera assegnato ai ricercatori ritenuti aver dato un primo contributo notevole. Nel 1986 si è trasferito alla University of Southern California, avanzando da assistente professore a professore associato nel 1988 e a professore ordinario nel 1989, una posizione — oggi professore emerito — che ha ricoperto per il resto della sua carriera, con periodi prolungati come visiting professor all'UC Davis, all'Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES) alla periferia di Parigi, a Caltech e al Mathematical Sciences Research Institute di Berkeley. Il riconoscimento americano ha fatto seguito a quello francese: una Sloan Research Fellowship (1987-1989), un Presidential Young Investigator Award (1989-1994) e il Raubenheimer Outstanding Senior Faculty Award della USC nel 1994.

Nodi, superfici e 3-varietà iperboliche

La ricerca di Bonahon si colloca all'intersezione tra topologia a basse dimensioni, geometria iperbolica, analisi complessa e sistemi dinamici, e si è mossa di pari passo con le principali correnti del settore. Il suo lavoro iniziale ha riguardato la teoria dei nodi e le involuzioni e fibrazioni di Seifert delle 3-varietà, ovvero la classificazione di come gli spazi tridimensionali possono essere costruiti a partire da pezzi fibrati più semplici. Man mano che il settore ha assorbito l'intuizione di Thurston secondo cui la maggior parte delle 3-varietà ammette una struttura geometrica iperbolica naturale, Bonahon si è dedicato alla teoria delle deformazioni delle strutture iperboliche su superfici e 3-variedades (nel testo: 3-varietà), studiando come la forma di una superficie iperbolica possa essere variata continuamente — l'oggetto della teoria di Teichmüller — e come queste deformazioni interagiscono con la geometria delle 3-varietà in cui le superfici sono immerse. Si tratta di un lavoro tecnico e altamente geometrico il cui risultato è concettuale: una descrizione operativa dell'intero spazio di strutture iperboliche che un dato oggetto topologico può possedere e di come tale spazio sia organizzato. Negli ultimi anni il suo lavoro si è esteso alla topologia quantistica, collegando la geometria iperbolica classica alle strutture algebriche derivanti dagli invarianti quantistici di nodi e 3-varietà, una frontiera di ricerca attiva che unisce la topologia alla fisica matematica.

Riconoscimento tra i pari

Bonahon è stato relatore invitato al Congresso Internazionale dei Matematici a Kyoto nel 1990, uno dei segnali più chiari all'interno del settore per ogni ciclo che un corpo di lavoro è ritenuto plasmare la direzione della materia, ed è stato nominato Fellow dell'American Mathematical Society nella classe inaugurale di fellow della società nel 2012, un onore riservato ai matematici ritenuti aver dato contributi eccezionali al campo. È inoltre autore di Low-Dimensional Geometry: From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots (2009), un testo volto a rendere l'immagine geometrica moderna di superfici e nodi accessibile a un più ampio pubblico di lettori matematici, un deliberato sforzo di traduzione in una materia che non ne è nota.

Perché Francis viene definito un genio

La specifica qualità cognitiva messa in mostra nella carriera di Bonahon è la visualizzazione geometrica spinta in un dominio in cui la normale intuizione spaziale trae attivamente in inganno: lo spazio iperbolico tridimensionale non può essere costruito come un sottoinsieme del normale spazio euclideo nello stesso modo in cui una sfera o un toro possono esserlo; pertanto, lavorarci in modo produttivo richiede di mantenere in mente un'immagine autoconsistente e non euclidea e di ragionare correttamente a partire da essa, un'abilità che distingue i ricercatori solidi da quelli eccezionali nel campo. Il fatto che la sua carriera si sviluppi esattamente lungo l'asse portante della rivoluzione della geometrizzazione di Thurston — dalla prima classificazione delle 3-varietà, attraverso la teoria delle deformazioni iperboliche, fino alla moderna topologia quantistica — riflette una padronanza costante di un argomento autenticamente difficile lungo quattro archi decennali, confermata dall'esterno da un invito all'ICM e da una fellowship inaugurale dell'AMS. Il controargomento onesto è che i contributi di Bonahon, per quanto profondi, sono stati estensioni e consolidamenti costanti del quadro che Thurston e un piccolo gruppo di contemporanei hanno stabilito, piuttosto che una singola svolta paragonabile che definisca il campo di per sé; la documentazione disponibile non registra alcuna medaglia Fields o premio singolare equivalente, e il suo contributo pubblico più visibile — il libro di testo del 2009 — è esso stesso un atto di esposizione piuttosto che di scoperta. È il genio di un maestro artigiano che lavora alla frontiera di una rivoluzione consolidata, non il genio di averne avviata una.

Eredità

I quattro decenni di lavoro di Bonahon alla USC hanno contribuito a fare della California del Sud un centro per la topologia a basse dimensioni e la teoria geometrica dei gruppi, e il suo libro di testo continua a introdurre nuove generazioni di studenti in un mondo geometrico — le 3-varietà iperboliche — che, grazie in parte alla sua stessa ricerca, è oggi sufficientemente compreso da poter essere insegnato anziché solo scoperto. Il titolo di professore emerito che ora detiene segna la conclusione di un percorso di ricerca insolitamente lungo e coerente, iniziato all'ombra di Thurston e conclusosi, decenni dopo, continuando a contribuire alla stessa conversazione.