Ernest Michael: Come scegliere senza scegliere male

Nel 1956 un giovane topologo dell'Università di Washington pubblicò un teorema sulla presa di decisioni. Data una regola che assegna a ogni punto non un singolo valore, ma un intero insieme di valori accettabili, quando è possibile sceglierne uno da ciascuno — in modo continuo, in modo che punti vicini ottengano scelte vicine? La risposta che diede è usata oggi ogni volta che un economista dimostra che esiste un equilibrio o un teorico del controllo dimostra che un sistema può essere guidato. Cinquant'anni dopo, una rivista dedicò un intero numero speciale a ciò che ne era derivato, definendo il 1956 "l'anno di nascita di questa teoria".

Zurigo, Berlino, L'Aia, New York

Michael nacque a Zurigo il 26 agosto 1925, figlio di Jacob ed Erna Michael, una famiglia ebrea aschenazita.

I quattordici anni successivi si leggono come la mappa di un continente che va a rotoli. La famiglia si trasferì da Berlino nel 1932 — l'anno prima che Hitler prendesse il potere, il che significa che lessero la situazione presto e correttamente. Andarono all'Aia. Nel 1939, con i Paesi Bassi a pochi mesi dall'invasione, emigrarono di nuovo, a New York. Michael sarebbe stato descritto in seguito come americano, di origine svizzera e tedesca; ognuna di quelle parole fu acquistata con una partenza.

Si laureò alla Horace Mann School a quindici anni. Andò alla Cornell, ma la guerra lo interruppe: prestò servizio a bordo della USS Kwajalein dal 1944 al 1946, tornando per conseguire la laurea nel 1947. Seguì un master ad Harvard nel 1948 e nel 1951 un dottorato all'Università di Chicago sotto Irving Segal, con una tesi sulle algebre topologiche localmente moltiplicativamente convesse.

Quarantuno anni a Seattle

Nel 1952 Michael entrò nel dipartimento di matematica dell'Università di Washington. Fu professore assistente dal 1952 al 1956, professore associato dal 1956 al 1960 e professore dal 1960 fino al suo pensionamento nel 1993 — quarantuno anni in un dipartimento, in una vita i cui primi quattordici avevano contenuto tre paesi.

Viaggiò da quella base piuttosto che trasferirsi di nuovo: quattro periodi separati come visitatore all'Institute for Advanced Study, un anno all'ETH di Zurigo nel 1973-74 — tornando nella città natale — e un anno all'Università di Stoccarda nel 1978-79.

Il teorema di selezione

Il risultato del 1956 riguarda le mappe a valori d'insieme, a volte chiamate corrispondenze o multifunzioni.

Una funzione ordinaria fornisce un output per input. Una mappa a valori d'insieme ne fornisce un intero insieme: per ogni prezzo, l'insieme delle quantità che un'azienda potrebbe produrre in modo ottimale; per ogni stato di una macchina, l'insieme dei controlli ammissibili. Una selezione è una funzione ordinaria che sceglie un elemento da ciascuno di quegli insiemi. Le selezioni esistono sempre se si accetta l'assioma della scelta — ma saranno generalmente estremamente discontinue, e una scelta discontinua è inutile per gli scopi che le persone hanno realmente.

Il teorema di selezione di Michael fornisce le condizioni in cui esiste una selezione continua: approssimativamente, che il dominio sia paracompatto e la mappa sia semicontinua inferiormente con valori convessi chiusi. Il teorema è il motivo per cui gran parte dell'analisi moderna funziona. Gli argomenti di punto fisso nell'economia matematica, la teoria delle inclusioni differenziali, l'ottimizzazione e il controllo dipendono tutti a un certo punto dalla capacità di scegliere continuamente da un insieme in movimento.

Non si fermò al teorema. Fondò l'intera teoria delle selezioni continue attorno ad esso, e l'articolo del 1956 è giustamente considerato l'origine di quel campo.

La retta di Michael

La sua altra costruzione famosa è un controesempio, ed è uno dei più citati nella topologia generale.

I topologi hanno a lungo desiderato che le proprietà si comportassero bene rispetto ai prodotti — se due spazi sono buoni, il loro prodotto dovrebbe essere buono. La retta di Michael uccide questa speranza per un accoppiamento specifico e importante. È uno spazio paracompatto il cui prodotto con lo spazio dei numeri irrazionali non è nemmeno normale.

I controesempi di questa qualità svolgono un lavoro particolare in matematica. Segnano il confine del possibile e salvano tutti coloro che vengono dopo dal perdere anni a tentare una dimostrazione di qualcosa di falso. Il nome di Michael è anche legato alla topologia prodotto di Michael e ai risultati sui sottospazi chiusi, e ha pubblicato oltre cento articoli di topologia generale, nelle Transactions, negli Annals e in Duke, su iperspazi di sottoinsiemi, paracompattezza, selezioni continue e il comportamento degli spazi normali.

Perché Ernest è chiamato genio

La prova più forte è la durabilità di un tipo specifico e insolito. Un singolo articolo pubblicato nel 1956 generava ancora abbastanza nuova matematica cinquant'anni dopo, tanto che Topology and Its Applications dedicò un numero speciale all'anniversario. Pochissimi risultati ottengono questo.

La qualità cognitiva coinvolta merita di essere nominata con precisione, perché non è pura potenza di calcolo. Il dono di Michael era trovare le ipotesi esatte — le condizioni minime in cui una cosa desiderabile è vera, abbinate agli esempi acuti che mostrano cosa succede nel momento in cui le si rilassa. Il teorema di selezione e la retta di Michael sono lo stesso talento rivolto in direzioni opposte: uno mappa dove il terreno è solido, l'altro segna precisamente dove cede. I matematici di questo tipo sono più rari dei risolutori di problemi e più utili per la salute a lungo termine di un campo, perché ne definiscono la geografia.

Il controargomento onesto è che il celebre lavoro di Michael è limitato in superficie. La topologia generale nella seconda metà del XX secolo non era dove si trovava il centro di gravità della disciplina; il suo maggiore onore fu l'inclusione nella classe inaugurale dei Fellow dell'American Mathematical Society nel 2012, una distinzione grande e collettiva arrivata cinquantasei anni dopo il teorema. Non vinse alcun premio Wolf, alcun premio Steele, né alcuna appartenenza ad accademie nazionali registrata nelle fonti accessibili. Nessun collega è registrato nel definirlo un genio. Gran parte della fama del suo teorema di selezione è presa in prestito dagli utenti a valle — economisti e teorici del controllo che lo citano come un lemma senza impegnarsi affatto nella sua topologia. Un verdetto equo è che Michael è stato un matematico di eccezionale precisione che ha trovato un teorema così esattamente corretto da sopravvivere alla moda del suo stesso campo.

Eredità

Michael andò in pensione nel 1993 e morì il 29 aprile 2013, all'età di ottantasette anni, a Seattle.

Il teorema è in ogni testo di laurea sull'analisi a valori d'insieme. La retta di Michael è in ogni corso di topologia che discute i prodotti. Entrambi vengono insegnati, il più delle volte, senza che nessuno menzioni che il loro autore era un ragazzo ebreo che lasciò Berlino nel 1932, attraversò un oceano prima di un'invasione, prestò servizio nel Pacifico, e poi si sedette in una stanza a Seattle per quarantuno anni e capì esattamente quando è possibile scegliere bene.