Se arriviamo a un'equazione contenente su ogni lato lo stesso termine ma con coefficienti diversi, dobbiamo sottrarre uguali da uguali fino a ottenere un termine uguale a un altro termine. Ma, se ci sono su uno o su entrambi i lati termini negativi, le deficienze devono essere aggiunte su entrambi i lati fino a quando tutti i termini su entrambi i lati sono positivi. Allora dobbiamo sottrarre uguali da uguali fino a quando rimane un solo termine su ogni lato.
Diophantus di Alexandria era un matematico alessandrino, autore di una serie di libri chiamati Arithmetica, molti dei quali sono ormai persi. I suoi testi affrontano la risoluzione di equazioni algebriche. Mentre leggeva l'edizione dell'Arithmetica di Diophantus di Claude Gaspard Bachet de Méziriac, Pierre de Fermat concluse che una certa equazione considerata da Diophantus non aveva soluzioni, e annotò nel margine senza elaborazioni che aveva trovato "una prova veramente meravigliosa di questa proposizione," ora nota come Ultimo Teorema di Fermat. Questo ha portato a enormi progressi nella teoria dei numeri, e lo studio delle equazioni diofantee, della "geometria diofantea" e delle approssimazioni diofantee rimangono importanti aree di ricerca matematica. Diophantus coniò il termine παρισότης parisotes per riferirsi a un'uguaglianza approssimativa. Questo termine fu reso come adaequalitas in latino, e divenne la tecnica dell'adeguatezza sviluppata da Pierre de Fermat per trovare i massimi delle funzioni e le linee tangenti alle curve. Diophantus fu il primo matematico greco che riconobbe le frazioni come numeri; così permise numeri razionali positivi per i coefficienti e le soluzioni. Nell'uso moderno, le equazioni diofantee sono solitamente equazioni algebriche con coefficienti interi, per le quali si cercano soluzioni intere.
Biografia
Poco si sa della vita di Diophantus. Visse ad Alexandria, Egitto, durante l'era romana, probabilmente tra il 200 e il 214 d.C. fino al 284 o 298. Diophantus è stato descritto in vari modi dagli storici come greco, oppure possibilmente egiziano ellenizzato, o babilonese ellenizzato. Molte di queste identificazioni potrebbero derivare dalla confusione con il retore del IV secolo Diophantus l'Arabo. Gran parte della nostra conoscenza della vita di Diophantus deriva da un'antologia greca del V secolo di giochi numerici e enigmi creata da Metrodorus. Uno dei problemi talvolta chiamato sua epitafio afferma:
'Qui giace Diophantus,' la meraviglia da contemplare.
Per arte algebrica, la pietra racconta quanti anni aveva:
'Dio gli diede la sua infanzia un sesto della sua vita,
Un dodicesimo più come gioventù mentre i baffi crescevano fitti;
E poi ancora un settimo prima che il matrimonio iniziasse;
In cinque anni venne un bambino saltellante.
Ahimè, il caro figlio del maestro e del saggio
Dopo aver raggiunto metà della misura della vita di suo padre il destino crudele lo colse. Dopo aver consolato il suo destino con la scienza dei numeri per quattro anni, terminò la sua vita.'
Questo enigma implica che l'età di Diophantus x possa essere espressa come
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
che dà a x un valore di 84 anni. Tuttavia, l'accuratezza delle informazioni non può essere confermata indipendentemente.
Nella cultura popolare, questo enigma era il Puzzle No. 142 in Professor Layton e il Vangelo di Pandora come uno dei puzzle più difficili da risolvere nel gioco, che doveva essere sbloccato risolvendo prima altri enigmi.
Arithmetica
Arithmetica è l'opera principale di Diophantus e l'opera più importante sull'algebra nella matematica greca. È una raccolta di problemi che fornisce soluzioni numeriche sia di equazioni determinate che indeterminate. Dei tredici libri originali di cui Arithmetica era composta, solo sei sono sopravvissuti, anche se alcuni credono che quattro libri arabi scoperti nel 1968 siano anch'essi di Diophantus. Alcuni problemi diofantei da Arithmetica sono stati trovati in fonti arabe.
Va menzionato qui che Diophantus non ha mai utilizzato metodi generali nelle sue soluzioni. Hermann Hankel, rinomato matematico tedesco, ha fatto la seguente osservazione riguardante Diophantus.
"Il nostro autore Diophantos nessuna traccia della minima di un metodo generale e comprensivo è discernibile; ogni problema richiede un qualche metodo speciale che si rifiuta di funzionare anche per i problemi più strettamente correlati. Per questa ragione è difficile per lo studioso moderno risolvere il 101° problema anche dopo aver studiato 100 delle soluzioni di Diophantos".
Storia
Come molti altri trattati matematici greci, Diophantus fu dimenticato nell'Europa occidentale durante i cosiddetti Secoli Bui, poiché lo studio del greco antico e l'alfabetizzazione in generale erano notevolmente diminuiti. La parte dell'Arithmetica greca che sopravvisse, tuttavia, come tutti i testi greci antichi trasmessi al mondo della prima modernità, fu copiata da, e così nota a, studiosi bizantini medievali. Scholie su Diophantus dello studioso greco bizantino John Chortasmenos 1370–1437 sono conservate insieme a un commento completo scritto dallo studioso greco precedente Maximos Planudes 1260–1305, che produsse un'edizione di Diophantus all'interno della biblioteca del Monastero della Chora nella Costantinopoli bizantina. Inoltre, una parte dell'Arithmetica probabilmente sopravvisse nella tradizione araba vedi sopra. Nel 1463 il matematico tedesco Regiomontanus scrisse:
Nessuno ha ancora tradotto dal greco al latino i tredici libri di Diophantus, in cui il fiore stesso di tutta l'aritmetica giace nascosto . . . .
Arithmetica fu tradotta per la prima volta dal greco al latino da Bombelli nel 1570, ma la traduzione non fu mai pubblicata. Tuttavia, Bombelli prese in prestito molti dei problemi per il suo stesso libro Algebra. L'editio princeps di Arithmetica fu pubblicata nel 1575 da Xylander. La traduzione latina più conosciuta di Arithmetica fu fatta da Bachet nel 1621 e divenne la prima edizione latina che fu ampiamente disponibile. Pierre de Fermat possedeva una copia, la studiò e fece annotazioni nei margini.
Note marginali di Fermat e Chortasmenos
L'edizione del 1621 dell'Arithmetica di Bachet guadagnò fama dopo che Pierre de Fermat scrisse il suo famoso "Ultimo Teorema" nei margini della sua copia:
Se un intero n è maggiore di 2, allora an + bn = cn non ha soluzioni in interi non nulli a, b, e c. Ho una prova veramente meravigliosa di questa proposizione che questo margine è troppo stretto per contenere.
La prova di Fermat non è mai stata trovata, e il problema di trovare una prova per il teorema rimase irrisolto per secoli. Una prova fu infine trovata nel 1994 da Andrew Wiles dopo avervi lavorato per sette anni. Si crede che Fermat non avesse effettivamente la prova che sosteneva di avere. Sebbene la copia originale in cui Fermat scrisse questo sia persa oggi, il figlio di Fermat curò la successiva edizione di Diophantus, pubblicata nel 1670. Nonostante il testo sia altrimenti inferiore all'edizione del 1621, le annotazioni di Fermat—incluso l'"Ultimo Teorema"—furono stampate in questa versione.
Fermat non fu il primo matematico così mosso a scrivere nelle proprie note marginali su Diophantus; lo studioso bizantino John Chortasmenos 1370–1437 aveva scritto "La tua anima, Diophantus, sia con Satana a causa della difficoltà dei tuoi altri teoremi e in particolare di questo teorema" accanto allo stesso problema.
Altre opere
Diophantus scrisse diversi altri libri oltre all'Arithmetica, ma molto pochi di essi sono sopravvissuti.
I Porismi
Lo stesso Diophantus si riferisce a un'opera che consiste in una raccolta di lemmi chiamati I Porismi o Porismi, ma questo libro è completamente perso.
Sebbene I Porismi siano persi, conosciamo tre lemmi contenuti lì, poiché Diophantus vi si riferisce nell'Arithmetica. Un lemma afferma che la differenza dei cubi di due numeri razionali è uguale alla somma dei cubi di altri due numeri razionali, cioè dati qualsiasi a e b, con a > b, esistono c e d, tutti positivi e razionali, tali che
a³ − b³ = c³ + d³.
Numeri poligonali ed elementi geometrici
Diophantus è anche noto per aver scritto su numeri poligonali, un argomento di grande interesse per Pitagora e i Pitagorici. Frammenti di un libro che affronta i numeri poligonali sono ancora esistenti.
Un libro chiamato Preliminari agli Elementi Geometrici è stato tradizionalmente attribuito a Erone di Alexandria. È stato studiato recentemente da Wilbur Knorr, che ha suggerito che l'attribuzione a Erone è scorretta, e che il vero autore è Diophantus.
Influenza
L'opera di Diophantus ha avuto una grande influenza nella storia. Le edizioni dell'Arithmetica hanno esercitato un'influenza profonda sullo sviluppo dell'algebra in Europa dalla fine del sedicesimo secolo attraverso il XVII e XVIII secolo. Diophantus e le sue opere hanno anche influenzato la matematica araba e erano di grande fama tra i matematici arabi. L'opera di Diophantus ha creato una base per il lavoro sull'algebra e in realtà gran parte della matematica avanzata si basa sull'algebra. Quanto ha influenzato l'India è una questione dibattuta.
Diophantus è spesso chiamato "il padre dell'algebra" perché ha contribuito notevolmente alla teoria dei numeri, alla notazione matematica, e perché Arithmetica contiene l'uso noto più antico della notazione sincopata.
Analisi diofantea
Oggi, l'analisi diofantea è l'area di studio dove si cercano soluzioni intere per equazioni, e le equazioni diofantee sono equazioni polinomiali con coefficienti interi per le quali si cercano solo soluzioni intere. Di solito è piuttosto difficile dire se una data equazione diofantea è risolvibile. La maggior parte dei problemi in Arithmetica conducono a equazioni quadratiche. Diophantus considerò 3 diversi tipi di equazioni quadratiche: ax² + bx = c, ax² = bx + c, e ax² + c = bx. La ragione per cui c'erano tre casi per Diophantus, mentre oggi abbiamo solo un caso, è che non aveva alcuna nozione di zero e evitava coefficienti negativi considerando i numeri dati a, b, c come tutti positivi in ciascuno dei tre casi precedenti. Diophantus era sempre soddisfatto di una soluzione razionale e non richiedeva un numero intero, il che significa che accettava frazioni come soluzioni ai suoi problemi. Diophantus considerava le radici quadrate negative o irrazionali "inutili", "insignificanti", e persino "assurde". Per dare un esempio specifico, chiama l'equazione 4 = 4x + 20 'assurda' perché porterebbe a un valore negativo per x. Cercava una sola soluzione in un'equazione quadratica. Non ci sono prove che suggeriscono che Diophantus si sia nemmeno reso conto che potesse esserci due soluzioni a un'equazione quadratica. Considerò anche equazioni quadratiche simultanee.
Notazione matematica
Diophantus fece importanti progressi nella notazione matematica, diventando la prima persona nota per usare la notazione algebrica e il simbolismo. Prima di lui tutti scrivevano completamente le equazioni. Diophantus introdusse un simbolismo algebrico che utilizzava una notazione abbreviata per operazioni che si verificano frequentemente, e un'abbreviazione per l'incognita e per le potenze dell'incognita. Lo storico matematico Kurt Vogel afferma:
Il simbolismo che Diophantus introdusse per la prima volta, e indubbiamente ideò da solo, fornì un mezzo breve e facilmente comprensibile per esprimere un'equazione... Poiché un'abbreviazione è anche impiegata per la parola 'uguaglia', Diophantus ha compiuto un passo fondamentale dall'algebra verbale verso l'algebra simbolica.
Sebbene Diophantus abbia fatto importanti progressi nel simbolismo, gli mancava ancora la notazione necessaria per esprimere metodi più generali. Questo ha causato che il suo lavoro fosse più concernente i problemi particolari piuttosto che le situazioni generali. Alcune delle limitazioni della notazione di Diophantus sono che aveva notazione solo per un'incognita e, quando i problemi coinvolgevano più di una singola incognita, Diophantus era ridotto a esprimere "prima incognita", "seconda incognita", ecc. a parole. Gli mancava anche un simbolo per un numero generale n. Dove scriveremmo 12 + 6n/n² − 3, Diophantus deve ricorrere a costruzioni come: "... un numero sestuplo aumentato di dodici, che è diviso per la differenza di cui il quadrato del numero eccede tre".
L'algebra aveva ancora un lungo cammino da fare prima che problemi molto generali potessero essere scritti e risolti in modo succinto.
