Cosa contiene il taccuino
Il taccuino perduto è dominato dalle funzioni theta mock: oggetti misteriosi che Ramanujan inventò nei suoi ultimi mesi. Assomigliano alle funzioni theta dell'analisi classica ma non soddisfano le stesse proprietà di trasformazione. Ramanujan le identificò in una lettera a Hardy scritta settimane prima della sua morte. Per 70 anni, nessuno ha capito cosa fossero. Nel 2002, Sander Zwegers ha dimostrato che sono componenti delle "forme armoniche di Maass", una struttura profonda che si collega alla moderna teoria dei numeri, alla teoria delle stringhe e alla teoria del moonshine.
Congruenze di partizione
Il taccuino contiene anche risultati sulle congruenze di partizione, schemi nel numero di modi in cui gli interi possono essere suddivisi in somme. Ramanujan aveva notato che: il numero di partizioni di 5n+4 è sempre divisibile per 5; quello di 7n+5 per 7; quello di 11n+6 per 11. Non fornì alcuna prova. Le dimostrazioni arrivarono decenni dopo. La spiegazione più profonda, la funzione tau di Ramanujan e la sua connessione con le forme modulari, ha richiesto un secolo per essere compresa appieno.
Come faceva a saperlo?
L'enigma centrale del lavoro di Ramanujan è come abbia derivato risultati che richiedevano macchinari matematici non inventati fino a decenni dopo la sua morte. Hardy credeva che Ramanujan avesse sviluppato la sua teoria privata delle forme modulari, ignota ai matematici occidentali dell'epoca, attraverso una combinazione di intuizione, sperimentazione numerica e istinto matematico che confinava con l'inspiegabile.
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Cos'è il taccuino perduto di Ramanujan?
Il taccuino perduto di Ramanujan è una raccolta di 138 pagine di formule matematiche scritte da Ramanujan nell'ultimo anno della sua vita (1919-1920). Riscoperto nel 1976, contiene circa 600 risultati, per lo più non dimostrati, incluse funzioni theta mock, congruenze di partizione e identità di frazioni continue che i matematici stanno ancora verificando.
Cosa sono le funzioni theta mock?
Le funzioni theta mock sono funzioni misteriose che Ramanujan inventò nei suoi ultimi mesi, descritte in una lettera a Hardy settimane prima della sua morte. Per 70 anni la loro natura è rimasta poco chiara. Nel 2002, Sander Zwegers ha dimostrato che sono componenti delle forme armoniche di Maass, oggetti con profonde connessioni con la teoria dei numeri e la fisica moderna.
Ramanujan ha dimostrato le sue formule?
Per lo più no. Ramanujan dichiarava i risultati con sicurezza ma forniva dimostrazioni solo per una frazione di essi. Sosteneva che le sue formule gli apparissero in sogno dalla dea Namagiri. Hardy ha stimato che dei circa 3.900 risultati nei taccuini di Ramanujan, circa due terzi fossero già noti o dimostrabili; il terzo rimanente era interamente nuovo e richiedeva una nuova matematica per essere verificato.