Il postulato delle parallele di Euclide
Il postulato delle parallele afferma: data una retta e un punto non appartenente ad essa, passa per quel punto esattamente una retta parallela alla retta data. Sembra ovvio. Ma a differenza degli altri postulati di Euclide, non è necessariamente autoevidente. Per 2.000 anni, i matematici hanno presunto che potesse essere derivato dagli altri. Non è possibile.
La geometria iperbolica di Lobachevsky
Lobachevsky (1829) e Bolyai (1832) mostrarono indipendentemente che, se si assume che esistano infinite rette parallele passanti per il punto, si ottiene una geometria coerente: la geometria iperbolica. Nello spazio iperbolico, gli angoli di un triangolo sommano a meno di 180° e la geometria è a curvatura negativa (come la superficie di una sella).
L'estensione di Riemann
Bernhard Riemann (1854) generalizzò ulteriormente: si possono anche avere zero rette parallele (geometria sferica, dove i cerchi massimi si intersecano sempre). E la geometria non deve essere piatta nemmeno in tre dimensioni: lo spazio stesso può curvarsi. Questo divenne il quadro matematico utilizzato da Einstein per la relatività generale 60 anni dopo.
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Fai il test del QI →Rifiuto e rivendicazione
Lobachevsky pubblicò i suoi risultati nel 1829; furono ridicolizzati e ignorati. Il padre di Bolyai inviò il lavoro a Gauss, che rispose di aver pensato a tutto questo anni prima (probabilmente vero, ma non pubblicò mai). Lobachevsky morì senza vedere il suo lavoro accettato. La rivendicazione arrivò con la generalizzazione di Riemann e, infine, con la conferma di Einstein che lo spazio è realmente curvo.
Domande frequenti
Che cos'è la geometria non euclidea?
La geometria non euclidea è qualsiasi geometria che rifiuta il postulato delle parallele di Euclide. Nella geometria iperbolica (Lobachevsky, Bolyai), molteplici rette parallele passano per un dato punto; nella geometria sferica (Riemann), nessuna. Entrambe sono internamente coerenti e descrivono spazi fisici reali.
Chi ha inventato la geometria non euclidea?
Nikolai Lobachevsky (Russia, 1829) e János Bolyai (Ungheria, 1832) scoprirono indipendentemente la geometria non euclidea iperbolica. Gauss in seguito affermò di averla scoperta indipendentemente ma non la pubblicò mai. Riemann le generalizzò tutte nel 1854.
Come si relaziona la geometria non euclidea con Einstein?
La relatività generale di Einstein (1915) utilizza la geometria riemanniana per descrivere la gravità come la curvatura dello spaziotempo quadridimensionale. Gli oggetti massicci curvano la geometria dello spazio; ciò che percepiamo come attrazione gravitazionale è il movimento lungo geodetiche curve. Senza la geometria non euclidea, la relatività generale non avrebbe alcun linguaggio matematico.