Cosa afferma il teorema
L'ultimo teorema di Fermat afferma che: non esistono interi positivi x, y, z e un intero n > 2 tali che xⁿ + yⁿ = zⁿ. Per n = 2, esistono infinite soluzioni (terne pitagoriche: 3² + 4² = 5², ecc.). Per n ≥ 3, il teorema sostiene che non ne esistono. Semplice da enunciare, straordinariamente difficile da dimostrare.
Tre secoli di tentativi
Euler dimostrò il caso n = 3 nel 1770. Dirichlet e Legendre dimostrarono n = 5 nel 1825. Lamé dimostrò n = 7 nel 1839. Kummer dimostrò il teorema per tutti i "numeri primi regolari" nel 1850. Negli anni '80, l'ultimo teorema di Fermat era stato verificato computazionalmente per tutti gli n fino a 125.000, ma il calcolo non è una dimostrazione. Il caso generale ha resistito a tutti.
La dimostrazione di Wiles
Andrew Wiles era ossessionato da Fermat da quando, a 10 anni, lesse del problema. Nel 1986, Ken Ribet dimostrò che la congettura di Taniyama-Shimura implica l'ultimo teorema di Fermat: se tutte le curve ellittiche sono modulari, allora il teorema è vero. Wiles ha trascorso 7 anni in segreto a dimostrare la congettura di Taniyama-Shimura per le curve ellittiche semistabili. Annunciò la dimostrazione nel giugno 1993. Fu trovata una lacuna. Dopo 14 mesi di lavoro supplementare, la dimostrazione completa apparve nel 1995: 130 pagine di teoria dei numeri all'avanguardia. Il margine era davvero troppo stretto per la dimostrazione di Fermat, perché la sua dimostrazione quasi certamente non esisteva.
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Cos'è l'ultimo teorema di Fermat?
L'ultimo teorema di Fermat afferma che per interi n > 2, non esistono soluzioni intere positive per xⁿ + yⁿ = zⁿ. Per n = 2, le soluzioni sono abbondanti (terne pitagoriche come 3,4,5). Fermat dichiarò di avere una dimostrazione nel 1637 ma non la scrisse mai. Andrew Wiles la dimostrò nel 1995 usando curve ellittiche e forme modulari, una matematica che non esisteva nell'era di Fermat.
Fermat aveva davvero una dimostrazione?
Quasi certamente no. La dimostrazione di Wiles utilizza una matematica del XX secolo (curve ellittiche, forme modulari, rappresentazioni di Galois) che Fermat non avrebbe potuto conoscere. Le dimostrazioni di casi particolari (n=3, n=5, n=7) richiedevano già innovazioni sostanziali oltre l'era di Fermat. Il consenso è che Fermat avesse un argomento errato che non controllò attentamente, o che si sia confuso con un risultato correlato più semplice.
Come ha dimostrato l'ultimo teorema di Fermat Andrew Wiles?
Wiles ha dimostrato la congettura di Taniyama-Shimura per le curve ellittiche semistabili: ogni curva di questo tipo corrisponde a una forma modulare. Ken Ribet aveva precedentemente dimostrato che ciò implica l'ultimo teorema di Fermat. Wiles ha lavorato segretamente per 7 anni a Princeton, ha annunciato una dimostrazione nel 1993 (che conteneva una lacuna), quindi ha completato la dimostrazione corretta nel 1994, pubblicata nel 1995 in 130 pagine.