मार्क कात्ज़: क्या आप ड्रम की आकृति सुन सकते हैं?

1966 में एक पोलिश-अमेरिकी प्रायिकता गणितज्ञ ने एक ऐसे प्रश्न पर आधारित लेख प्रकाशित किया जो एक बच्चा भी पूछ सकता है: यदि आप ड्रम की आवाज सुनते हैं, तो क्या आप बता सकते हैं कि उसका आकार क्या है? उत्तर नहीं में निकला - अलग-अलग रेज़ोनेटर (अनुनादक) समान आइगेनफ्रीक्वेंसी (eigenfrequencies) साझा कर सकते हैं। इस प्रश्न ने एक क्षेत्र की स्थापना की। कात्ज़ ने दो साल बाद लेख के लिए शॉवेनेट पुरस्कार (Chauvenet Prize) जीता, जो उनका दूसरा पुरस्कार था, और वे गणित के उन बहुत ही कम प्रश्नों में से एक छोड़ गए जो एक ऐसा वाक्य बन गया है जिसे लोग यह जाने बिना उद्धृत करते हैं कि यह किसका था।

क्रेमेनेट्स, और एक सीमा जो स्थानांतरित हुई

कात्ज़ का जन्म 3 अगस्त 1914 को क्रेमेनेट्स (Kremenets) - पोलिश में क्र्ज़ेमिएनिएक (Krzemieniec) - में हुआ था, जो तब रूसी साम्राज्य का हिस्सा था, एक पोलिश-यहूदी परिवार में। जब वे बच्चे थे, तब शहर के हाथ बदलते रहे, और वह सोवियत यूक्रेन से रीगा की शांति संधि के तहत पोलैंड में चला गया। उन्होंने स्थानांतरण नहीं किया; सीमा स्थानांतरित हुई। यह एक ऐसे गणितज्ञ के लिए एक उपयुक्त मूल है जिसने अपना करियर उन प्रणालियों के व्यवहार पर बिताया जो आपके नीचे बदलती रहती हैं।

लविव, स्टीनहॉस, और बाहर निकलने का रास्ता

उन्होंने 1937 में ह्यूगो स्टीनहॉस (Hugo Steinhaus) के अधीन लविव विश्वविद्यालय (University of Lwów) से पीएचडी की और लविव गणित स्कूल (Lwów School of Mathematics) से संबंधित थे - जो कि युद्ध के बीच के पोलैंड में गणितीय प्रतिभाओं का सबसे महत्वपूर्ण जमावड़ा था, और जिसे आने वाला दशक पूरी तरह नष्ट करने वाला था।

1938 में परनास फाउंडेशन (Parnas Foundation) के अनुदान ने उनके लिए संयुक्त राज्य अमेरिका जाना संभव बना दिया। वे नवंबर 1938 में न्यूयॉर्क पहुंचे। समय का चुनाव, शब्द के सबसे शाब्दिक अर्थ में, जीवन और एक सांख्यिकीय डेटा बनने के बीच का अंतर था: उन्होंने खिड़की बंद होने से ठीक पहले अटलांटिक पार किया।

कॉर्नेल, और युद्ध

वे 1939 में कॉर्नेल विश्वविद्यालय में शामिल हुए, 1943 में इंस्ट्रक्टर से सहायक प्रोफेसर और 1947 में पूर्ण प्रोफेसर बने। 1943 में उन्हें अमेरिकी नागरिक के रूप में प्राकृतिक रूप दिया गया। 1943 से 1945 तक उन्होंने एमआईटी (MIT) विकिरण प्रयोगशाला में जॉर्ज उलेनबेक (George Uhlenbeck) के साथ रडार प्रयासों पर काम किया - यह युद्धकालीन नियुक्तियों में से एक थी जहाँ शुद्ध गणितज्ञों ने पाया कि उनके अमूर्त सिद्धांतों के तत्काल भौतिक लाभ थे। उलेनबेक के साथ सहयोग युद्ध के बाद भी जारी रहा; दोनों ने बाद में पी. सी. हेमर (P. C. Hemmer) के साथ वान डर वाल्स गैस (van der Waals gas) के गणित पर काम किया।

अगस्त 1942

उनके माता-पिता और उनके भाई क्रेमेनेट्स में ही रह गए थे। अगस्त 1942 के सामूहिक निष्पादन में नाज़ियों द्वारा उनकी हत्या कर दी गई थी।

यह तथ्य उनकी जीवनी में बिना किसी टिप्पणी के दर्ज है, जैसा कि ऐसी कहानियों के साथ अक्सर होता है, और इसे किसी कथा में नहीं बदला जाना चाहिए। जब कात्ज़ के परिवार को उस शहर में मारा गया था जहाँ एक लड़के के रूप में उनके चारों ओर सीमाएँ बदल गई थीं, तब कात्ज़ अमेरिका में थे, कॉर्नेल में पढ़ा रहे थे और अपने शैक्षणिक करियर में ऊपर उठ रहे थे। आंतरिक परिणाम चाहे जो भी रहे हों, बाहरी रिकॉर्ड एक ऐसे व्यक्ति को दर्शाता है जिसने अगले चालीस वर्षों तक काम किया, और काम भी उत्पादकता के साथ, और जो बाद के जीवन में 'कंसर्नड साइंटिस्ट्स कमेटी' (Committee of Concerned Scientists) के सह-अध्यक्ष बने, जिसमें व्लादिमीर सामुइलोविच किसलिक (Vladimir Samuilovich Kislik) और योसिफ बेगुन (Yosif Begun) सहित सताए गए वैज्ञानिकों के मामलों का प्रचार किया गया। उन्होंने जल्दी ही सीख लिया था कि जब कोई शोर नहीं करता तो इसकी क्या कीमत चुकानी पड़ती है।

सांख्यिकीय भौतिकी: रिंग और इसिंग मॉडल

1950 का दशक उनका भौतिकी का दशक था। 1952 में, थियोडोर एच. बर्लिन (Theodore H. Berlin) के साथ, उन्होंने फेरोमैग्नेट का गोलाकार मॉडल पेश किया; जे. सी. वार्ड (J. C. Ward) के साथ उन्होंने इसिंग मॉडल (Ising model) का सटीक समाधान तैयार किया - जो दुर्लभ और कीमती था, क्योंकि सटीक रूप से हल करने योग्य मॉडल वे निश्चित बिंदु होते हैं जिनसे पूरा क्षेत्र नेविगेट करता है।

1956 में कात्ज़ रिंग (Kac ring) आई, और यह उनका सबसे सुंदर एकल निर्माण हो सकता है। यह जिस पहेली को हल करता है वह पुरानी और वास्तव में परेशान करने वाली है: मैक्रोस्कोपिक अपरिवर्तनीयता (macroscopic irreversibility) कैसे उत्पन्न हो सकती है - यह तथ्य कि चीजें समाप्त हो जाती हैं और कभी भी स्वतः वापस नहीं आती हैं - सूक्ष्म नियमों से जो समय में पूरी तरह से सममित हैं? लोशमिट का विरोधाभास (Loschmidt's paradox)। कात्ज़ ने एक खिलौना मॉडल बनाया जो पूरी तरह से विश्लेषण करने के लिए पर्याप्त सरल और घटना को प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त समृद्ध था, और इस प्रकार तर्क के बजाय एक स्पष्टीकरण तैयार किया। यह गणितीय भौतिकी के एक निश्चित प्रकार का उच्चतम रूप है: एक दार्शनिक विवाद को एक गणना योग्य उदाहरण के साथ बदलना।

ड्रम

उनके 1966 के लेख में पूछा गया था कि क्या ड्रम का ज्यामितीय आकार उसकी ध्वनि द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। उत्तर सामान्य तौर पर नकारात्मक निकला - अलग-अलग आकार एक ही स्पेक्ट्रम उत्पन्न कर सकते हैं - हालांकि कुछ आकारों के लिए, जिनमें गोलाकार ड्रम शामिल हैं, ज्यामिति को लैप्लासियन (Laplacian) के स्पेक्ट्रम से वास्तव में अनुमानित किया जा सकता है। इससे स्पेक्ट्रल ज्योमेट्री (spectral geometry) का जन्म हुआ, जो इस बात का व्यवस्थित अध्ययन है कि ऑपरेटर का स्पेक्ट्रम आपको उस स्थान के बारे में क्या बताता है जिसमें वह रहता है।

प्रश्न की शक्ति उसके रूप में निहित है। इसे सामान्य भाषा में कहा गया है, यह एक गैर-गणितज्ञ के लिए तुरंत समझ में आता है, और इसका उत्तर देने के लिए गंभीर मशीनरी की आवश्यकता होती है। बहुत कम शोधकर्ता कभी भी तीनों गुणों वाली समस्या तैयार करते हैं।

मार्क को प्रतिभाशाली क्यों कहा जाता है

विशिष्ट संकाय प्रश्न-चयन है। कात्ज़ का तकनीकी काम - इसिंग समाधान, गोलाकार मॉडल, वान डर वाल्स गणित - प्रथम श्रेणी का है, लेकिन बहुत सारा प्रथम श्रेणी का तकनीकी काम साहित्य में गायब हो जाता है। जो उन्हें अलग करता है वह यह है कि उन्होंने बार-बार वह सूत्रीकरण पाया जिसने एक अस्पष्ट क्षेत्र को अचानक सुलभ बना दिया। कात्ज़ रिंग ने लोशमिट के विरोधाभास के लिए यह किया: एक मॉडल जिसे हड्डी तक छीन लिया गया था, फिर भी वह उस चीज को प्रदर्शित करता है जिसके बारे में हर कोई बहस कर रहा था। ड्रम प्रश्न ने स्पेक्ट्रल ज्योमेट्री के लिए यह किया: एक अंग्रेजी वाक्य जिसने एक गणितीय अनुशासन खोल दिया। यह एक विशिष्ट और असामान्य प्रतिभा है - कठिन समस्याओं को हल करना नहीं बल्कि उस कठिन समस्या का पता लगाना जो हल करने योग्य है और इसे इतनी स्पष्टता से बताना कि दूसरे लोग काम शुरू कर सकें।

उनकी व्याख्यात्मक उपहार भी वही वृत्ति है जो बाहर की ओर इशारा करती है, और इसे पहचाना गया था: दो शॉवेनेट पुरस्कार, 1947 के लेख के लिए 1950 में और ड्रम पेपर के लिए 1968 में, साथ ही 1967 में लेस्टर आर. फोर्ड अवार्ड (Lester R. Ford Award)। इसके बाद संस्थागत समर्थन मिले - 1959 में अमेरिकन एकेडमी ऑफ आर्ट्स एंड साइंसेज, 1965 में नेशनल एकेडमी ऑफ साइंसेज, 1969 में अमेरिकन फिलॉसॉफिकल सोसाइटी, 1971 में ब्रसेल्स में सोलवे लेक्चरर, 1980 में पीसा में स्कुओला नॉर्मेल में फर्मी लेक्चरर।

इसका विपरीत पक्ष: रिकॉर्ड में कोई भी वास्तव में उन पर यह शब्द लागू नहीं करता है, उनके पुरस्कार खोज के बजाय व्याख्या के लिए हैं, और ड्रम प्रश्न आंशिक रूप से प्रसिद्ध है क्योंकि यह आकर्षक है - उत्तर दूसरों द्वारा प्रदान किया गया था। एक शत्रुतापूर्ण व्याख्या उन्हें एक महान गणितज्ञ के बजाय एक शानदार कम्युनिकेटर और एक बहुत अच्छा गणितज्ञ कहेगी। निष्पक्ष व्याख्या यह है कि फ्रेमिंग अपने आप में खोज का एक रूप है, और कात्ज़ ने इसे एक से अधिक बार किया।

विरासत

कात्ज़ 1961 में कॉर्नेल छोड़कर रॉकफेलर विश्वविद्यालय (The Rockefeller University) चले गए, जहाँ उन्होंने लगभग दो दशक 1981 तक बिताए, और अंतिम समय दक्षिणी कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय में बिताया। उनका निधन 26 अक्टूबर 1984 को हुआ। उनकी पुस्तकें - प्रोबेबिलिटी, एनालिसिस एंड नंबर थ्योरी में सांख्यिकीय स्वतंत्रता (1959), भौतिक विज्ञान में प्रायिकता और संबंधित विषय (1959), स्टैनिस्लाव उलम (Stanislaw Ulam) के साथ गणित और तर्क (1968) - ने एक पीढ़ी को सिखाया, और उनकी आत्मकथा, एनिग्मास ऑफ चांस (Enigmas of Chance), 1985 में मरणोपरांत प्रकाशित हुई। शीर्षक को उस व्यक्ति द्वारा अच्छी तरह से चुना गया था जिसके परिवार की मृत्यु एक सीमा की दुर्घटना के कारण हुई थी और जो एक अनुदान की दुर्घटना पर जीवित रहा।