मार्क लैकेनबी: वह व्यक्ति जिसने गांठ को सुलझाया

"कोई व्यवस्थित तरीका अभी तक ज्ञात नहीं है जिससे यह बताया जा सके कि क्या दो गांठें समान हैं।" यह एलन ट्यूरिंग (Alan Turing) ने 1954 में कहा था, जो गणित की सबसे ठोस अनसुलझी समस्याओं में से एक की ओर इशारा कर रहा था: एक गांठदार धागे के साथ, यह तय करना कि क्या वह वास्तव में एक गांठ है। मैक्स डेहन (Max Dehn) ने 1910 में इसे सामने रखा था। वोल्फगैंग हेकेन (Wolfgang Haken) ने 1961 में पहला एल्गोरिदम तैयार किया, लेकिन जटिल समस्याओं पर यह बेहद धीमा था। 2 फरवरी 2021 को, यूसी डेविस में, मार्क लैकेनबी ने घोषणा की कि इस प्रश्न को n की c log n घात के चरणों में हल किया जा सकता है - यानी क्वासी-पॉलीनोमियल समय, जो उस दक्षता के बहुत करीब है जिसे कंप्यूटर वैज्ञानिक वास्तव में सुलभ समस्या मानते हैं। ऑक्सफोर्ड के गणितज्ञों ने इसे गॉर्डियन गांठ सुलझाने जैसा एक महाकार्य (tour-de-force) कहा।

कैम्ब्रिज और लिकोरिश स्कूल

लैकेनबी 1990 में गणित पढ़ने के लिए कैम्ब्रिज गए और वहीं डॉक्टरेट के लिए रुक गए, जिसे उन्होंने 1997 में डब्ल्यू. बी. आर. लिकोरिश (W. B. R. Lickorish) के मार्गदर्शन में "डेहन सर्जरी और अनकॉटिंग ऑपरेशंस" शीर्षक वाले थीसिस के साथ पूरा किया। लिकोरिश बीसवीं सदी के गांठ सिद्धांत के केंद्रीय आंकड़ों में से एक हैं, और थीसिस के विषय - डेहन सर्जरी और अनकॉटिंग - पच्चीस साल बाद भी लैकेनबी के विषय बने रहे। बहुत कम गणितज्ञ इतनी जल्दी अपना क्षेत्र चुनते हैं और फिर उसमें नई चीजें खोजते रहते हैं।

उन्होंने यूसी बर्कले में मिलर रिसर्च फेलोशिप और कैम्ब्रिज में रिसर्च फेलोशिप संभाली, जिसके बाद 1999 में ऑक्सफोर्ड जाकर सेंट कैथरीन कॉलेज के व्याख्याता और फेलो बन गए। 2006 में उन्हें प्रोफेसर के पद पर पदोन्नत किया गया। उनका काम गांठ सिद्धांत, निम्न-आयामी टोपोलॉजी और समूह सिद्धांत में फैला हुआ है - तीन विषय जो तीन आयामों में अलग-अलग कोणों से देखे जाने पर कमोबेश एक ही विषय साबित होते हैं।

छिद्रों को भरना

डेहन सर्जरी त्रि-आयामी टोपोलॉजी के केंद्र में स्थित संचालन है: एक गांठ के चारों ओर एक ठोस ट्यूब काटें, फिर उसे अलग तरीके से वापस चिपका दें। लगभग हर त्रि-आयामी मैनिफोल्ड इस तरह से उत्पादित किया जा सकता है, इसलिए संचालन को समझने का मतलब वस्तुओं को समझना है।

महत्वपूर्ण सवाल यह है कि परिणाम कब हाइपरबोलिक रहता है - हाइपरबोलिक ज्यामिति वह संरचना है जो त्रि-आयामी मैनिफोल्ड को कठोर और विश्लेषण योग्य बनाती है, और इसकी अनुपस्थिति वह जगह है जहां से जंगल की शुरुआत होती है। 2π प्रमेय एक ज्यामितीय मानदंड देता है जो गारंटी देता है कि सर्जरी हाइपरबोलिसिटी को संरक्षित करती है। लैकेनबी ने इसका एक सुदृढ़ संस्करण सिद्ध किया। यह उनके लिए एक विशिष्ट प्रकार का परिणाम है: एक नए परिदृश्य की खोज नहीं, बल्कि एक मौजूदा सीमा रेखा को तेज करना, जो इतनी अच्छी तरह से किया गया है कि बहुत अधिक क्षेत्र इसके उपयोगी पक्ष में आ जाता है।

वैकल्पिक गांठें और आयतन

एक दूसरा सूत्र गांठ की तस्वीर को उसकी ज्यामिति से जोड़ता है। एक पन्ने पर एक गांठ को आरेख के रूप में बनाएं और आपके पास कॉम्बिनेटरिक्स - क्रॉसिंग, आर्क्स, क्षेत्र - हैं। गांठ के चारों ओर की जगह पर विचार करें और आपके पास ज्यामिति है, जिसके साथ एक हाइपरबोलिक आयतन जुड़ा हुआ है। ये पूरी तरह से अलग प्रकार की जानकारी हैं, और उन्हें संबंधित करना क्षेत्र की गहरी परियोजनाओं में से एक है।

लैकेनबी ने वैकल्पिक गांठों के लिए गांठ के पूरक के हाइपरबोलिक आयतन पर सीमाएं तय कीं - वह वर्ग जिसमें आप गांठ के चारों ओर घूमते समय क्रॉसिंग बारी-बारी से ऊपर, नीचे, ऊपर, नीचे आती हैं - एक ज्यामितीय इनवेरिएंट को कुछ ऐसी चीज से जोड़ना जिसे आप चित्र पर सचमुच गिन सकते हैं। इस तरह के परिणाम गांठ ज्यामिति को केवल विचारणीय के बजाय गणना योग्य बनाते हैं।

रिडमेस्टर की चालें, गिनी गईं

गांठ के किसी भी आरेख को तीन प्राथमिक जोड़-तोड़, रिडमेस्टर चालों (Reidemeister moves) के एक अनुक्रम द्वारा उसी गांठ के किसी अन्य आरेख में बदला जा सकता है। यह 1920 के दशक से ज्ञात है, और यह अपने आप में बेकार है: कोई भी यह नहीं बताता कि कितनी चालों की आवश्यकता है, और अनुक्रम को सरल होने से पहले दोनों छोरों से कहीं अधिक गंदे आरेखों से गुजरना पड़ सकता है। यही कारण है कि गांठ खोलना कठिन है - अक्सर बेहतर होने से पहले आपको गांठ को और बदतर बनाना पड़ता है।

लैकेनबी ने दिखाया कि अनकॉट के एक आरेख को क्रॉसिंग की संख्या के पॉलीनोमियल रिडमेस्टर चालों में सुलझाया जा सकता है। निराशा गलत थी। तुच्छ वृत्त के लिए हमेशा एक उचित रूप से छोटा मार्ग होता है, भले ही उसे खोजना एक अलग बात है।

क्वासी-पॉलीनोमियल समय

जो हमें 2021 तक लाता है। गांठ पहचान की समस्या में हेकेन के बाद से टोपोलॉजी और ज्यामिति पर आधारित कई एल्गोरिदम जमा हो गए थे, और गांठों के जटिल होने पर उनमें से लगभग सभी विनाशकारी रूप से धीमे थे। क्या एक पॉलीनोमियल-समय एल्गोरिदम मौजूद है, यह टोपोलॉजी और कंप्यूटर विज्ञान की सीमा पर प्रसिद्ध खुले प्रश्नों में से एक बन गया था। विलियम थर्स्टन (William Thurston) ने 2011 में इसे स्पष्ट रूप से कहा: "बहुत से लोगों ने इस सवाल के बारे में सोचा है... लेकिन यह हल करने के लिए बहुत कठिन सवाल रहा है।"

लैकेनबी की n^(c log n) सीमा इसे पूरी तरह से तय नहीं करती है। क्वासी-पॉलीनोमियल पॉलीनोमियल से धीमा है। लेकिन क्वासी-पॉलीनोमियल और पहले जो कुछ भी आया, उनके बीच का अंतर बहुत बड़ा है, और क्वासी-पॉलीनोमियल और पॉलीनोमियल के बीच का अंतर, व्यावहारिक और वैचारिक दृष्टि से, छोटा है। जिस समस्या को ट्यूरिंग ने अनियंत्रित सूची में रखा था, वह अब, अनिवार्य रूप से, नियंत्रित हो गई है।

मार्क को प्रतिभाशाली क्यों कहा जाता है

प्रदर्शित गुणवत्ता गति या व्यापकता नहीं है। यह धैर्यपूर्ण गहराई है: पच्चीस वर्षों तक प्रश्नों के एक ही समूह - डेहन सर्जरी, अनकॉटिंग, गांठ पूरक की ज्यामिति - के साथ बने रहना, तकनीक जमा करना जब तक कि पीढ़ियों तक विरोध करने वाली समस्याएं पहुंच योग्य न हो गईं। गांठ खोलने का परिणाम सबसे स्पष्ट प्रमाण है, क्योंकि यह किसी चतुर चाल से नहीं हुआ। यह किसी ऐसे व्यक्ति के पास गया जिसने विशिष्ट मशीनरी बनाने में अपना करियर बिताया था और जो देख सकता था, जहां दूसरे नहीं देख सकते थे, कि टोपोलॉजिकल और ज्यामितीय उपकरणों का कौन सा संयोजन काम करेगा।

उनके साथियों से मिली मान्यता लगातार रही है, सनसनीखेज नहीं: 2003 में लंदन मैथमैटिकल सोसाइटी का व्हाइटहेड प्राइज, 2006 में गणित और सांख्यिकी में फिलिप लेवरहुम प्राइज, 2010 में इंटरनेशनल कांग्रेस ऑफ मैथमैटिशियंस में बोलने का निमंत्रण - यह अनुशासन का सबसे विश्वसनीय संकेत है कि काम का महत्व है। 2021 की घोषणा ने सबसे मजबूत भाषा को आकर्षित किया, जिसमें ऑक्सफोर्ड ने "महाकार्य" (tour-de-force) शब्द का इस्तेमाल किया।

विपरीत पक्ष भी बताना होगा। किसी भी स्रोत ने किसी को लैकेनबी को प्रतिभाशाली कहते हुए दर्ज नहीं किया है, और जिस गणितीय संस्कृति से वह संबंधित हैं, वह इस शब्द का उपयोग करने में उल्लेखनीय रूप से कंजूस है। उनका काम सीधे हेकेन, थर्स्टन, लिकोरिश और पूरी सामान्य-सतह परंपरा पर आधारित है; क्वासी-पॉलीनोमियल एल्गोरिदम एक स्थापित ढांचे के भीतर एक शानदार सुधार है, न कि कोई नया ढांचा। यह पॉलीनोमियल भी नहीं है, जिसका अर्थ है कि मुख्य प्रश्न तकनीकी रूप से अभी भी खुला है। और निम्न-आयामी टोपोलॉजी, अपनी सारी सुंदरता के बावजूद, एक विशेषज्ञ क्षेत्र है - उनके परिणाम टोपोलॉजिस्ट के बीच प्रसिद्ध हैं और बाहर काफी हद तक अज्ञात हैं। जो विवाद से परे है वह यह है कि उन्होंने एक ऐसी समस्या को क्रैक किया जो एक सदी से रुकी हुई थी, और उन्होंने ऐसा अपने विषय को किसी और से अधिक अच्छी तरह से जानकर किया।

विरासत

लैकेनबी ने अपने काम के चारों सूत्रों में जो किया है, वह गांठ सिद्धांत को प्रभावी बनाना है। क्रॉसिंग गिनकर आयतन को सीमित करना, चालें गिनकर सुलझाने को सीमित करना, कदम गिनकर पहचान को सीमित करना - हर मामले में एक ऐसी वस्तु जिसे सोचा जा सकता था, वह ऐसी वस्तु बन गई जिसकी गणना की जा सकती है। वह बदलाव ही एक सुंदर सिद्धांत को एक उपयोगी सिद्धांत में बदल देता है, और यही कारण है कि 2021 का परिणाम टोपोलॉजी से परे सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में भी गया। डेहन ने 1910 में यह सवाल पूछा था। इसमें 111 साल और ऑक्सफोर्ड के एक प्रोफेसर लगे, जिन्होंने किसी और चीज पर काम करने से इनकार कर दिया।