कैरन उलेनबेक: वह विश्लेषक जिसने ज्यामिति का पुनर्निर्माण किया

तार के फ्रेम पर फैली साबुन की फिल्म उस सबसे छोटी सतह का रूप ले लेती है जिसे वह पा सकती है। कैरन उलेनबेक (Karen Uhlenbeck) ने अपने करियर का निर्माण इस बात पर किया कि तब क्या होता है जब ऐसा नहीं हो पाता—जब ऊर्जा-न्यूनतम करने की प्रक्रिया अलग-थलग बिंदुओं पर टूट जाती है और उस रूप में केंद्रित हो जाती है जिसे गणितज्ञ अब 'बुलबुला' (bubble) कहते हैं। उस विफलता का वर्णन करने वाला शोध-पत्र जो उन्होंने जोनाथन सैक्स (Jonathan Sacks) के साथ लिखा था, उसने अनुशासन को दो हिस्सों में बांट दिया। ज्यामितीय विशेषज्ञ फ्रांस्वा लाबौरी (François Labourie) ने कहा है, "सैक्स-उलेनबेक शोध-पत्र से पहले और बाद का समय है।" 2019 में, वह एबेल पुरस्कार (Abel Prize) प्राप्त करने वाली पहली महिला बनीं।

क्लीवलैंड और एक लाइब्रेरी कार्ड

कैरन केसकुल्ला उलेनबेक (Karen Keskulla Uhlenbeck) का जन्म 24 अगस्त 1942 को क्लीवलैंड, ओहियो में हुआ था। वह एक इंजीनियर अर्नोल्ड केसकुल्ला (Arnold Keskulla) और एक कलाकार कैरोलिन विंडेलर केसकुल्ला (Carolyn Windeler Keskulla) के चार बच्चों में सबसे बड़ी थीं। वह ग्रामीण परिवेश में पली-बढ़ीं और उन्हें पढ़ने का बहुत शौक था। उन्होंने याद करते हुए कहा, "बचपन में मैं बहुत पढ़ती थी, और मैं सब कुछ पढ़ती थी। मैं लाइब्रेरी जाती और फिर पूरी रात जागकर पढ़ती।" लगभग बारह साल की उम्र में, उनके पिता ने उन्हें फ्रेड हॉयल (Fred Hoyle) की खगोल भौतिकी पर किताबें दीं; जॉर्ज गैमोव (George Gamow) की पुस्तक वन, टू, थ्री... इन्फिनिटी (One, Two, Three... Infinity) ने उन्हें मोहित कर लिया क्योंकि इसमें समझाया गया था कि अनंत (infinity) के भी अलग-अलग आकार होते हैं।

वह भौतिकी का अध्ययन करने के इरादे से मिशिगन विश्वविद्यालय (University of Michigan) गईं और 1964 में गणित में स्नातक की डिग्री प्राप्त की। इसके बाद 1966 में ब्रांडिस विश्वविद्यालय (Brandeis University) से मास्टर डिग्री और 1968 में रिचर्ड पाले (Richard Palais) के अधीन डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त की।

एक दरवाजा जो नहीं खुला

फिर गणित से असंबंधित कारणों से उनका करियर रुक गया। एमआईटी (MIT) में एक साल पोस्टडॉक्टोरल और बर्कले (Berkeley) में दो साल व्याख्यान देने के बाद, उलेनबेक को स्थायी नौकरी नहीं मिल सकी। उन्होंने इसके कारणों के बारे में खुलकर बात की है। "मुझे बताया गया... कि लोग महिलाओं को काम पर नहीं रखते, कि महिलाओं को घर जाना चाहिए और बच्चे पैदा करने चाहिए।" जिन विश्वविद्यालयों ने उनके पति को रखना चाहा—एमआईटी, स्टैनफोर्ड (Stanford), प्रिंसटन (Princeton)—उन्होंने उन्हें काम पर रखने से इनकार कर दिया, और इनकार को प्रक्रियात्मक बताने के लिए भाई-भतीजावाद-विरोधी नियमों का सहारा लिया।

उन्होंने 1971 में इलिनोइस विश्वविद्यालय अर्बाना-शैंपेन (University of Illinois at Urbana-Champaign) में एक पद संभाला, और उनके पति ने उनके करियर का अनुसरण किया। वहां से वह इलिनोइस विश्वविद्यालय शिकागो (University of Illinois at Chicago) चली गईं और पूर्ण प्रोफेसर के पद पर पदोन्नत हुईं। 1983 में मैक्आर्थर फैलोशिप (MacArthur Fellowship) उन्हें शिकागो विश्वविद्यालय (University of Chicago) ले गई, और 1988 से वह ऑस्टिन में टेक्सास विश्वविद्यालय (University of Texas at Austin) में सिड डब्ल्यू. रिचर्डसन फाउंडेशन रीजेंट्स चेयर (Sid W. Richardson Foundation Regents Chair) के पद पर हैं।

बुलबुला बनना (Bubbling)

सैक्स-उलेनबेक का काम हार्मोनिक मैप्स (harmonic maps) से संबंधित था: सतहों से घुमावदार स्थानों तक के मैप्स के लिए ऊर्जा कार्यात्मक (energy functionals) का क्या होता है। जोड़ी ने दिखाया कि ऊर्जा-न्यूनतम करने वाले अनुक्रम लगभग हर जगह हार्मोनिक मैप्स पर अभिसरण (converge) करते हैं, लेकिन अलग-थलग बिंदुओं पर विश्लेषण विफल हो जाता है और एक गोले के बराबर ऊर्जा अलग हो जाती है—बुलबुले के रूप में निकल जाती है। अंतर्दृष्टि यह नहीं थी कि विधि टूट गई, बल्कि यह थी कि उस टूटने की एक सटीक, वर्गीकृत संरचना थी। विलक्षणता (singularities) अब बाधा नहीं रही बल्कि अध्ययन की वस्तु बन गई। बुलबुला बनना अब ज्यामितीय विश्लेषण में मानक उपकरण है।

गेज सिद्धांत और डोनाल्डसन क्रांति

1980 के दशक की शुरुआत में उलेनबेक ने अपनी वही विश्लेषणात्मक वृत्ति यांग-मिल्स समीकरणों (Yang–Mills equations) पर केंद्रित की, जो गेज क्षेत्रों (gauge fields) की भौतिकी के आधारभूत गणित हैं। उन्होंने समस्या के अनुकूल नई समन्वय प्रणालियां शुरू कीं, सीमित वक्रता वाले कनेक्शनों के लिए एक कॉम्पैक्टनेस प्रमेय (compactness theorem) साबित किया, और अपने हटाने योग्य विलक्षणता (removable-singularity) परिणामों की स्थापना की—संक्षेप में यह दिखाया कि चार आयामों में खराब बिंदुओं को भरा जा सकता है।

यह वह मशीनरी थी जिसका पूरा क्षेत्र इंतजार कर रहा था। उनके उपकरणों ने इंस्टेंटन्स (instantons) का ज्यामितीय रूप से उपयोग करना संभव बना दिया, जो कि साइमन डोनाल्डसन (Simon Donaldson) ने उस काम में किया जिसके लिए उन्हें फील्ड्स मेडल (Fields Medal) मिला। डोनाल्डसन का अपना आकलन है कि उलेनबेक के परिणाम "इस क्षेत्र में बाद के अधिकांश कार्यों को आधार प्रदान करते हैं।"

समाकलनीय प्रणालियां और उनका अपना क्षेत्र

नाइजेल हिचिन (Nigel Hitchin) और चू-लियन टेंग (Chuu-Lian Terng) के साथ, उलेनबेक ने दिखाया कि सतहों से सजातीय स्थानों (homogeneous spaces) तक हार्मोनिक मैपिंग एक-पैरामीटर परिवारों में आती हैं, जो उन्हें अनंत-आयामी समाकलनीय प्रणालियों (integrable systems) से जोड़ती हैं—यह ज्यामिति और सॉलिटन सिद्धांत की बीजगणितीय मशीनरी के बीच एक पुल है।

कुल मिलाकर, यह काम आधुनिक ज्यामितीय विश्लेषण की स्थापना के बराबर है: कठिन आंशिक अंतर समीकरणों (partial differential equations) का टोपोलॉजी और ज्यामिति के साथ जानबूझकर किया गया संलयन। इसे करने के बारे में उलेनबेक का वर्णन विशिष्ट रूप से सादगीपूर्ण है—जैसे "एक डेक से कूदना जहां आप नहीं जानते थे कि क्या होने वाला है।"

जगह बनाना

उन्होंने पेशे में अपने सफर को निजी मामला नहीं माना। उलेनबेक प्रिंसटन में इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी (Institute for Advanced Study) में 'वीमेन एंड मैथमेटिक्स' कार्यक्रम की सह-संस्थापक थीं और उन्होंने पार्क सिटी मैथमेटिक्स इंस्टीट्यूट (Park City Mathematics Institute) की स्थापना में मदद की; महिला गणितज्ञों के लिए उनका मार्गदर्शन अक्सर पौराणिक माना जाता है। उन्होंने प्रगति के बारे में अनुशासन के आत्म-प्रशंसा के दावों को स्वीकार करने से इनकार कर दिया है। 2007 में एएमएस (AMS) स्टील पुरस्कार (Steele Prize) प्राप्त करते हुए उन्होंने कहा: "मैं गणित करने वाली और नेतृत्व के पदों पर रहने वाली महिलाओं की संख्या को लेकर काफी निराश हूं। मेरे विचार में, यह मुख्य रूप से गणितीय समुदाय की संस्कृति के साथ-साथ बाहर से कठोर सामाजिक दबावों के कारण है।"

सम्मानों का सिलसिला जारी रहा: 1983 में मैक्आर्थर पुरस्कार, 1985 में अमेरिकन एकेडमी ऑफ आर्ट्स एंड साइंसेज (American Academy of Arts and Sciences), उसी वर्ष एएमएस कोलॉक्वियम व्याख्यान, 1986 में नेशनल एकेडमी ऑफ साइंसेज (National Academy of Sciences), 1988 में नोएथर व्याख्यान (Noether Lecture), 1990 में इंटरनेशनल कांग्रेस ऑफ मैथमेटिशियन्स (International Congress of Mathematicians) में पूर्ण संबोधन—ऐसा करने वाली केवल दूसरी महिला—2000 में 'वैश्विक ज्यामिति में उनके कई अग्रणी योगदानों के लिए' राष्ट्रीय विज्ञान पदक (National Medal of Science), 2007 में स्टील पुरस्कार, 2019 में एबेल पुरस्कार, 2020 में एडब्ल्यूएम (AWM) फैलोशिप और 2023 में रॉयल सोसाइटी (Royal Society) की फैलोशिप।

कैरन को प्रतिभाशाली क्यों कहा जाता है

यह क्षमता एक विशेष प्रकार के साहस की है: उलेनबेक की वृत्ति उस बिंदु पर सीधे जाने की है जहां एक विधि ढह जाती है। अधिकांश गणितज्ञ विलक्षणताओं (singularities) के आसपास से रास्ता निकालते हैं। उन्होंने उस स्थान को जहां विश्लेषण विफल हो जाता है, उस स्थान के रूप में माना जहां ज्यामिति वास्तव में रहती है, और फिर उसका वर्णन करने के लिए तकनीकी उपकरण बनाया। इसीलिए उनके परिणाम बुनियादी ढांचे के रूप में कार्य करते हैं—बुलबुला बनना, कॉम्पैक्टनेस, हटाने योग्य विलक्षणताएं, ये ऐसी प्रमेय नहीं हैं जिन्हें लोग उद्धृत करते हैं, बल्कि ये ऐसे उपकरण हैं जिनका उपयोग लोग बिना जाने करते हैं।

ऐसा कहने वाले लोग प्रचारक नहीं हैं। एबेल प्रशस्ति पत्र उन्हें "ज्यामितीय आंशिक अंतर समीकरणों, गेज सिद्धांत और समाकलनीय प्रणालियों में अग्रणी उपलब्धियों" और विश्लेषण, ज्यामिति और गणितीय भौतिकी पर "मौलिक प्रभाव" के लिए श्रेय देता है, और नॉर्वेजियन अकादमी ने उनके काम को पिछले चालीस वर्षों में गणित के सबसे नाटकीय विकासों में से कुछ को उत्पन्न करने वाला बताया। डोनाल्डसन का कहना है कि उनके परिणाम क्षेत्र को आधार प्रदान करते हैं। सन-युंग एलिस चांग (Sun-Yung Alice Chang) नोट करती हैं कि "उनका प्रभाव गणित की विभिन्न शाखाओं तक फैला हुआ है।" लाबौरी इतिहास में उनकी एक शोध-पत्र के माध्यम से एक रेखा खींचते हैं।

ईमानदार प्रति-तर्क के दो भाग हैं। पहला, उनकी हस्ताक्षर उपलब्धियां सक्षम करने वाली हैं: उन्होंने जो विश्लेषण प्रदान किया उसने अन्य लोगों के मुख्य प्रमेयों को संभव बनाया, और इंस्टेंटन्स की ज्यामिति के लिए फील्ड्स मेडल डोनाल्डसन को मिला। क्या यह उन्हें अधिक महत्वपूर्ण व्यक्ति बनाता है या कम, यह एक वास्तविक तर्क है, न कि कोई सुलझा हुआ मामला। दूसरा, मान्यता देर से आई और अब वह उनके पहली महिला होने के तथ्य से अलग नहीं हो सकती—एक ऐसा ढांचा जो एक जबरदस्त विश्लेषक को एक प्रतीक में बदलने और चुपचाप गणित को छोड़ने का जोखिम उठाता है। उलेनबेक स्वयं कभी भी अंतर्दृष्टि का दावा न करने के लिए सावधान रही हैं। काम का उनका अपना वर्णन यह है कि उन्होंने यह जाने बिना कि नीचे क्या है, एक डेक से छलांग लगा दी।

विरासत

ज्यामितीय विश्लेषण एक सुसंगत विषय के रूप में काफी हद तक इसलिए मौजूद है क्योंकि उलेनबेक ने जोर देकर कहा कि सबसे कठिन उपलब्ध विश्लेषणात्मक तकनीकें ज्यामिति के अंदर की हैं। 1970 के दशक के अंत में उन्होंने और सैक्स ने जो बुलबुले पाए थे, वे अब गणितज्ञों के सीमाओं और विफलता के बारे में सोचने के तरीके का एक मानक हिस्सा हैं, और उनके प्रिंसटन कार्यक्रम के माध्यम से क्षेत्र में आई महिलाएं काम का दूसरा, कम उद्धृत करने योग्य हिस्सा बनाती हैं।