नोटबुक में क्या है
खोई हुई नोटबुक में 'मॉक थीटा फंक्शन' का दबदबा है — ये रहस्यमयी वस्तुएं हैं जिनका आविष्कार रामानुजन ने अपने अंतिम महीनों में किया था। ये क्लासिकल विश्लेषण के थीटा फंक्शन के समान हैं लेकिन समान रूपांतरण गुणों को संतुष्ट नहीं करते हैं। रामानुजन ने अपनी मृत्यु से कुछ सप्ताह पहले Hardy को लिखे एक पत्र में इनकी पहचान की थी। 70 वर्षों तक, किसी को समझ नहीं आया कि वे क्या थे। 2002 में, Sander Zwegers ने दिखाया कि वे 'हार्मोनिक मास फॉर्म्स' के घटक हैं — जो आधुनिक संख्या सिद्धांत, स्ट्रिंग थ्योरी और मूनशाइन से जुड़ा एक गहरा ढांचा है।
पार्टिशन कॉन्ग्रुएंस
नोटबुक में पार्टिशन कॉन्ग्रुएंस के बारे में भी परिणाम शामिल हैं — पूर्णांकों को योग में तोड़ने के तरीकों की संख्या में पैटर्न। रामानुजन ने देखा था: 5n+4 के पार्टिशन की संख्या हमेशा 5 से विभाज्य होती है; 7n+5 की 7 से; 11n+6 की 11 से। उन्होंने कोई प्रमाण नहीं दिया। प्रमाण दशकों बाद आए। गहरी व्याख्या — रामानुजन का टाऊ फंक्शन और मॉड्यूलर फॉर्म्स से इसका संबंध — को पूरी तरह समझने में एक सदी लग गई।
उन्हें कैसे पता चला?
रामानुजन के काम की मुख्य पहेली यह है कि उन्होंने ऐसे परिणाम कैसे प्राप्त किए जिनके लिए गणितीय मशीनरी की आवश्यकता थी, जिसका आविष्कार उनकी मृत्यु के दशकों बाद हुआ था। Hardy का मानना था कि रामानुजन ने अंतर्ज्ञान, संख्यात्मक प्रयोग और गणितीय प्रवृत्ति के संयोजन के माध्यम से मॉड्यूलर फॉर्म्स का अपना निजी सिद्धांत विकसित किया था — जो उस समय पश्चिमी गणितज्ञों को ज्ञात नहीं था — और यह सब अकथनीयता की हद तक था।
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रामानुजन की खोई हुई नोटबुक क्या है?
रामानुजन की खोई हुई नोटबुक गणितीय सूत्रों के 138 पन्नों का एक संग्रह है जिसे रामानुजन ने अपने जीवन के अंतिम वर्ष (1919-1920) में लिखा था। 1976 में फिर से खोजी गई, इसमें लगभग 600 परिणाम हैं, जो ज्यादातर अपुष्ट हैं, जिसमें मॉक थीटा फंक्शन, पार्टिशन कॉन्ग्रुएंस और निरंतर भिन्न पहचान शामिल हैं, जिन्हें गणितज्ञ आज भी सत्यापित कर रहे हैं।
मॉक थीटा फंक्शन क्या हैं?
मॉक थीटा फंक्शन रहस्यमयी फंक्शन हैं जिनका आविष्कार रामानुजन ने अपने अंतिम महीनों में किया था, जिसका वर्णन उन्होंने अपनी मृत्यु से कुछ सप्ताह पहले Hardy को लिखे एक पत्र में किया था। 70 वर्षों तक उनकी प्रकृति स्पष्ट नहीं थी। 2002 में, Sander Zwegers ने दिखाया कि वे हार्मोनिक मास फॉर्म्स के घटक हैं — ऐसी वस्तुएं जिनका संख्या सिद्धांत और आधुनिक भौतिकी से गहरा संबंध है।
क्या रामानुजन ने अपने सूत्रों को सिद्ध किया था?
ज्यादातर नहीं। रामानुजन ने आत्मविश्वास के साथ परिणाम बताए लेकिन केवल एक अंश के लिए ही प्रमाण प्रदान किए। उन्होंने दावा किया कि उनके सूत्र उन्हें देवी नामगिरी के सपनों में आते थे। Hardy का अनुमान था कि रामानुजन की नोटबुक में ~3,900 परिणामों में से, लगभग दो-तिहाई पहले से ही ज्ञात थे या सिद्ध किए जा सकते थे; शेष एक-तिहाई पूरी तरह से नए थे और उन्हें सत्यापित करने के लिए नए गणित की आवश्यकता थी।