प्रमेय क्या कहता है
फर्मा का अंतिम प्रमेय कहता है: कोई धनात्मक पूर्णांक x, y, z और पूर्णांक n > 2 ऐसे नहीं हैं कि xⁿ + yⁿ = zⁿ हो। n = 2 के लिए, अनंत समाधान हैं (पाइथागोरस त्रिक: 3² + 4² = 5², आदि)। n ≥ 3 के लिए, प्रमेय दावा करता है कि कोई समाधान नहीं है। बताने में सरल; सिद्ध करने में असाधारण रूप से कठिन।
प्रयासों की तीन शताब्दियाँ
यूलर ने 1770 में n = 3 का मामला सिद्ध किया। डिरिचलेट और लीजेंड्रे ने 1825 में n = 5 को सिद्ध किया। लामे ने 1839 में n = 7 को सिद्ध किया। कुम्मर ने 1850 में सभी 'नियमित अभाज्य संख्याओं' के लिए प्रमेय सिद्ध किया। 1980 के दशक तक, फर्मा के अंतिम प्रमेय को 125,000 तक के सभी n के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से सत्यापित कर लिया गया था — लेकिन गणना प्रमाण नहीं है। सामान्य मामला सबके लिए कठिन बना रहा।
वाइल्स का प्रमाण
एंड्रयू वाइल्स 10 साल की उम्र में इसे पढ़ने के बाद से ही फर्मा के प्रति जुनूनी थे। 1986 में, केन रिबेट ने सिद्ध किया कि तनियामा-शिमुरा अनुमान फर्मा के अंतिम प्रमेय को निहित करता है — यदि सभी अण्डाकार वक्र (elliptic curves) मॉड्यूलर हैं, तो फर्मा का अंतिम प्रमेय सत्य है। वाइल्स ने अर्ध-स्थिर अण्डाकार वक्रों के लिए तनियामा-शिमुरा अनुमान को सिद्ध करने में गुप्त रूप से 7 साल बिताए। उन्होंने जून 1993 में प्रमाण की घोषणा की। एक कमी पाई गई। 14 महीने के अतिरिक्त काम के बाद, 1995 में पूर्ण प्रमाण सामने आया — अत्याधुनिक संख्या सिद्धांत के 130 पृष्ठ। हाशिये वास्तव में फर्मा के प्रमाण के लिए बहुत संकीर्ण थे — क्योंकि उनका प्रमाण निश्चित रूप से अस्तित्व में था ही नहीं।
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फर्मा का अंतिम प्रमेय क्या है?
फर्मा का अंतिम प्रमेय बताता है कि पूर्णांक n > 2 के लिए, xⁿ + yⁿ = zⁿ के कोई धनात्मक पूर्णांक समाधान नहीं हैं। n = 2 के लिए, समाधान प्रचुर मात्रा में हैं (पाइथागोरस त्रिक जैसे 3,4,5)। फर्मा ने 1637 में एक प्रमाण होने का दावा किया था लेकिन कभी उसे लिखा नहीं। एंड्रयू वाइल्स ने 1995 में अण्डाकार वक्रों और मॉड्यूलर रूपों का उपयोग करके इसे सिद्ध किया — वह गणित जो फर्मा के युग में मौजूद नहीं था।
क्या फर्मा के पास वास्तव में कोई प्रमाण था?
निश्चित रूप से नहीं। वाइल्स का प्रमाण 20वीं सदी के गणित (अण्डाकार वक्र, मॉड्यूलर रूप, गैलोज़ निरूपण) का उपयोग करता है जिसे फर्मा नहीं जान सकते थे। विशेष मामलों (n=3, n=5, n=7) के प्रमाणों के लिए पहले से ही फर्मा के युग से परे पर्याप्त नवाचारों की आवश्यकता थी। आम सहमति यह है कि या तो फर्मा के पास एक त्रुटिपूर्ण तर्क था जिसे उन्होंने ध्यान से जांचा नहीं था, या उन्होंने खुद को एक सरल संबंधित परिणाम के साथ भ्रमित कर लिया था।
एंड्रयू वाइल्स ने फर्मा का अंतिम प्रमेय कैसे सिद्ध किया?
वाइल्स ने अर्ध-स्थिर अण्डाकार वक्रों के लिए तनियामा-शिमुरा अनुमान को सिद्ध किया: प्रत्येक ऐसा वक्र एक मॉड्यूलर रूप से मेल खाता है। केन रिबेट ने पहले ही सिद्ध कर दिया था कि यह फर्मा के अंतिम प्रमेय को निहित करता है। वाइल्स ने प्रिंसटन में 7 साल तक गुप्त रूप से काम किया, 1993 में एक प्रमाण की घोषणा की (जिसमें एक कमी थी), फिर 1994 में संशोधित प्रमाण पूरा किया, जिसे 1995 में 130 पृष्ठों में प्रकाशित किया गया।