לאופולד קרונקר (Leopold Kronecker): אלוהים ברא את המספרים השלמים
"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk" – אלוהים ברא את המספרים השלמים, כל היתר הוא עבודת אדם. היינריך ובר (Heinrich Weber) דיווח על משפט זה, והוא האריך ימים יותר מכל דבר אחר שאמר מחברו, שכן אין זו הערת אגב דתית אלא הכרזת מלחמה. האיש שהגה את המשפט הקדיש את עשורי חייו האחרונים לניסיון לטהר את המתמטיקה המודרנית מהאובייקטים האינסופיים שעמיתיו היו עסוקים בהמצאתם, והוא עשה לעצמו אויבים רבים כל כך בתוך כך, עד שאחד האנליסטים הגדולים באירופה כמעט עזב את ברלין כדי להתרחק ממנו.
ליגניץ ומורה בשם קומר
לאופולד קרונקר נולד ב-7 בדצמבר 1823 בליגניץ (Liegnitz), פרוסיה – כיום לגניצה (Legnica), פולין – למשפחה יהודית אמידה. הוריו, איזידור ויוהנה לבית פראוזניצר (Prausnitzer), העסיקו מורים פרטיים בביתם לפני ששלחו אותו לגימנסיה של ליגניץ, שם הוא עסק במדעים, היסטוריה ופילוסופיה, וגם שחה והתעמל באותה התלהבות. אחיו הצעיר הוגו הפך לפיזיולוג דגול. בגימנסיה היה מורהו למתמטיקה ארנסט קומר (Ernst Kummer), שזיהה את הכישרון ודחף אותו קדימה – מערכת יחסים שתעצב את שארית חייו של קרונקר, שכן הקריירות של שני הגברים המשיכו להצטלב.
הוא נרשם לאוניברסיטת ברלין בשנת 1841, והיסס בין אסטרונומיה, פילוסופיה ומתמטיקה; הוא בילה את קיץ 1843 בלימודי אסטרונומיה בבון, ולאחר מכן הלך בעקבות קומר לברסלאו (Breslau) בשנים 1843–1844 לפני שחזר לברלין, שם הגן בשנת 1845 על עבודת דוקטורט בתורת המספרים האלגברית בהנחיית פטר גוסטב לז'ן דיריכלה (Peter Gustav Lejeune Dirichlet).
איש העסקים שעסק במתמטיקה
מה שעשה לאחר מכן היה יוצא דופן עבור אדם בעל כישרונות כמותו: שום דבר אקדמי כלל. הוא חזר הביתה כדי לנהל אחוזה חקלאית גדולה ולטפל בעסקי המשפחה. הוא נשא לאישה את בת דודתו פאני פראוזניצר בשנת 1848 והביא לעולם שישה ילדים. הוא היה, במשך עשור לערך, איש עסקים פרובינציאלי מצליח שפרסם מתמטיקה מקורית על הדרך – כולל מאמר משנת 1853 על פתירות אלגברית של משוואות שהרחיב את עבודתו של גלואה (Galois), וטיפול משנת 1850 במשוואה ממעלה חמישית תוך שימוש בתורת החבורות (ולא על ידי רדיקלים, מה שכבר הוכח כבלתי אפשרי על ידי אבל (Abel) ורופיני (Ruffini)).
העסק הצליח במידה מספקת כדי שיוכל לחזור לברלין ב-1855 ולחיות שם כחוקר פרטי ללא משרה וללא צורך בה. בחירתו לאקדמיה בברלין ב-1861 העניקה לו את הזכות להרצות באוניברסיטה, דבר שהחל לעשות ב-1862; הוא לימד במשך שני עשורים ללא קתדרה. בשנת 1866 הוא דחה את הקתדרה למתמטיקה בגטינגן (Göttingen) – מקום מושבם של גאוס (Gauss) ודיריכלה, שהייתה ללא ספק המשרה היוקרתית ביותר במתמטיקה האירופית – והעדיף את ברלין. רק ב-1883, כאשר פרש קומר, הוא קיבל פרופסורה מן המניין, כשהוא מחליף את המורה שגילה אותו.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →החלום היקר ביותר של תורת המספרים
המתמטיקה של קרונקר היא מהסוג שזורע דיסציפלינה במקום לחתום אותה. הוא ניסח ב-1853 את מה שהפך למשפט קרונקר-ובר, שהוכחתו המלאה סופקה מאוחר יותר על ידי דויד הילברט (David Hilbert). הוא הציג את משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית, אחת מתוצאות היסוד של האלגברה המודרנית. הוא עבד על פונקציות אליפטיות והעלה השערה לגבי מה שכינה "liebster Jugendtraum" – חלום הנעורים היקר ביותר שלו – חזון של תורת שדות מחלקות מפורשת, שמאוחר יותר הילברט שילב בבעיה ה-12 שלו, שבה היא נותרה תוכנית מחקר פעילה.
בתורת המספרים האלגברית הוא בנה תיאוריה של מחלקים כחלופה לתורת האידיאלים של דדקינד (Dedekind), והוא עשה זאת מסיבות פילוסופיות ולא טכניות: ניתן היה לטפל במחלקים על ידי בנייה מפורשת, בעוד שאידיאלים דרשו קבוצות אינסופיות. הגישה של דדקינד ניצחה במאה ההיא, וזו של קרונקר נתפסה במידה רבה כסקרנות – עד שהמאה העשרים החייתה אותה. שמו קשור כיום לכמות בלתי סבירה של מושגים מתמטיים: דלתא של קרונקר, מכפלת קרונקר, סימון קרונקר, נוסחת הגבול של קרונקר, משפט קרונקר, הלמה של קרונקר, משפט קרונקר-קפלי, והצבת קרונקר.
המלחמה באינסוף
העמדה הפילוסופית שהולידה את תורת המחלקים הולידה גם את כל השאר, כולל את האיבה. קרונקר טען שיש לבנות את המתמטיקה מהמספרים השלמים באמצעות בנייה סופית ומפורשת – דוקטרינה הנקראת כיום פיניטיזם, שהפכה אותו למבשר האינטואיציוניזם. הוא תרם למושג הרציפות ולשחזור המספרים האי-רציונליים באנליזה ממשית, אך הוא דחה את הפונקציה הרציפה וחסרת הנגזרת של ויירשטראס (Weierstrass) מסיבות פילוסופיות, ותקף את תורת הקבוצות של גאורג קנטור (Georg Cantor), עם היררכיית האינסופים הממשיים שלה, כבלתי לגיטימית.
הוא לא הגביל דעות אלו לסמינרים. מסעו העכיר את יחסיו עם קרל ויירשטראס עד כדי כך שב-1888 ויירשטראס כמעט עזב את האוניברסיטה. בשנה האחרונה לחייו המיר קרונקר את דתו לנצרות. הוא מת בברלין ב-29 בדצמבר 1891 ונקבר בבית הקברות Alter St Matthäus Kirchhof בשנברג (Schöneberg).
מדוע לאופולד נחשב לגאון
המקרה נשען על שילוב ספציפי ונדיר: אינסטינקט של אלגבריסט למבנה יחד עם דרישה כמעט אובססיבית לתוכן קונסטרוקטיבי. נראה שקרונקר לא היה מסוגל לקבל אובייקט מתמטי שהוא לא יכול, באופן עקרוני, לבנות – ואילוץ זה, שנראה כמגבלה, שימש כמחולל. הוא הפיק את תורת המחלקים, את משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית, את משפט קרונקר-ובר ואת ה-Jugendtraum, שרבים מהם ארגנו מחדש את תחומי המחקר שלהם. השערותיו היו גם מכוונות היטב באופן יוצא דופן: זה אומר משהו שהילברט השקיע מאמץ משמעותי בהוכחת אחת מהן ובהנצחת אחרת כבעיה בשמו.
טיעון הנגד הכן הוא שהשיפוט שלו לגבי המתמטיקה ככלל היה לקוי, ומחיר טעותו היה גבוה. הוא טעה לגבי הפונקציה הפתולוגית של ויירשטראס, שכיום היא חומר לימוד סטנדרטי לתואר ראשון. הוא טעה לגבי קנטור, שהאריתמטיקה הטרנס-סופית שלו הפכה ליסוד במתמטיקה. תורת המחלקים המועדפת עליו הוצללה על ידי האידיאלים של דדקינד במשך רוב המאה, מה שמרמז על כך שהעקרונות הקונסטרוקטיביים שלו עלו בכוח הבעה ממשי באותה תקופה. והוא לחץ על אמונות אלו באכזריות אישית שכמעט הניעה עמית במעמדו של ויירשטראס לצאת מברלין – התנהגות שהיסטוריונים לא הצליחו לתרץ כקפדנות גרידא. הסיכום ההוגן הוא שקרונקר היה מתמטיקאי מדרגה ראשונה ונביא מדרגה שנייה: המשפטים שלו הזדקנו הרבה יותר טוב מהדעות שלו, וההתנגדויות הפילוסופיות שלו התבררו כמועילות יותר כעמדת מיעוט קבועה בתוך המתמטיקה מאשר כתוכנית שהתכוון להוציא לפועל.
מורשת
הוא נבחר לאקדמיה הפרוסית למדעים ב-1861, לאקדמיה הצרפתית למדעים ב-1868 ולחברה המלכותית ב-1884, והאסטרואיד 25624 קרונקר נושא את שמו. הוא הנחה את קורט הנזל (Kurt Hensel), אדולף קנסר (Adolf Kneser), מתיאס לרך (Mathias Lerch) ופרנץ מרטנס (Franz Mertens) – כאשר המספרים ה-p-אדיים של הנזל הם צאצא ישיר של הדחף הקונסטרוקטיבי שלו. התחייה של תורת המחלקים שלו במאה העשרים, והישרדותו של האינטואיציוניזם כחלופה יסודית רצינית, מעידים על כך שהאיש שהפסיד בוויכוח בימי חייו, מעולם לא הפסיד בו לחלוטין.