קיושי איטו (Kiyoshi Itō): המתמטיקאי שהעניק לאקראיות חשבון
במשך למעלה מעשור לאחר שקיושי איטו פרסם את המאמר שהניח את היסודות לחשבון סטוכסטי מודרני, כמעט איש לא קרא אותו. "אינני מכיר איש שקרא את המאמר הזה לעומקו כשהופיע, מלבד חברי ג'. מרויאמה (G. Maruyama)," הוא הודה מאוחר יותר. שישה עשורים לאחר מכן, הנוסחה שבאותו מאמר — דרך לביצוע חשבון על תהליכים לא-רציפים מכדי שחשבון רגיל יוכל לגעת בהם — רצה בשקט בתוך כל מחלקת תמחור אופציות בנקאית עלי אדמות, ובשנת 2006, בגיל 91, הפך איטו לאדם הראשון אי-פעם שזכה בפרס גאוס, הכבוד החדש ביותר במתמטיקה המוענק ספציפית לעבודה שהשלכותיה בעולם האמיתי עלו בהרבה על ציפיות מחברהּ.
פרויקט צדדי של סטטיסטיקאי בזמן מלחמה
איטו נולד ב-7 בספטמבר 1915, בהוקוסיי-צ'ו (Hokusei-cho), שבמחוז מיה (Mie) ביפן. הוא למד מתמטיקה באוניברסיטה הקיסרית של טוקיו, סיים את לימודיו ב-1938, וכסטודנט חש חוסר שביעות רצון מהספרות של תורת ההסתברות באותה עת, שלטעמו חסרה הגדרה קפדנית של משתנה אקראי. חוסר שביעות רצון זה הפך לתוכנית מחקר. משנת 1938 עבד בלשכה הסטטיסטית של הקבינט ביפן, משרה בשירות המדינה בזמן מלחמה שסיפקה לו באופן יוצא דופן את הכיסוי המוסדי לעסוק במחקר תיאורטי טהור בצד; שם, בשנת 1942, הוא כתב את המאמר "על תהליכים סטוכסטיים", ששחזר את תורת האינטגרציה הסטוכסטית — אינטגרציה ביחס לתהליך תנודתי אקראי במקום לעקומה חלקה — מתוך עקרונות יסוד.
בניית חשבון עבור תנועת בראון
האובייקט המתמטי שאיטו נזקק לו כדי לאלף את תנועת בראון היה הזיג-זג התזזיתי ששימש לראשונה למידול רטט של גרגרי אבקה במים: מסלול גס כל כך שיש לו וריאציה בלתי חסומה ולא ניתן לגזור אותו במובן הרגיל. הפתרון של איטו כלל שלושה חלקים מקושרים. הוא הגדיר סוג חדש של אינטגרל, הנקרא כיום אינטגרל איטו, שעשה סדר באינטגרציה כנגד תנועת בראון. לאחר מכן הוא השתמש בו כדי לנסח משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות — ביטויים מהצורה dX(t) = σ(X(t))dB(t) + b(X(t))dt — המאפשרים למתמטיקאים לתאר ולתפעל נתיבי דגימה אקראיים בודדים ישירות, במקום רק את התפלגויות ההסתברות שאותן נתיבים עשויים לייצר. הוא גזר את מה שהתחום מכנה כיום הלמה של איטו, נוסחה, df(X(t)) = f′(X(t))dX(t) + ½f″(X(t))σ²(X(t))dt, לאופן שבו פונקציה של תהליך אקראי משתנה בעצמה לאורך זמן — כלל השרשרת של החשבון הרגיל, שנבנה מחדש כדי להביא בחשבון את המונח הנוסף של האקראיות. בין לבין, תוצאות אלו סינתזו שתי מסורות שהיו נפרדות בעבר: החשיבה ההסתברותית האינטואיטיבית של מסלולי הדגימה של המתמטיקאי הצרפתי פול לוי (Paul Lévy) והיסודות הקפדניים ותיאורטיים-מדידים שהניח אנדריי קולמוגורוב (Andrei Kolmogorov).
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →קריירה על פני יבשות
איטו קיבל את הדוקטורט שלו ב-1945 ולאחר המלחמה לימד כפרופסור חבר באוניברסיטה הקיסרית של נאגויה בין השנים 1943 ל-1952. הוא עבר לאוניברסיטת קיוטו ב-1952, שם החזיק במשרת פרופסור עד 1979, בתווך היו מינויים בינלאומיים: שנתיים במכון למחקר מתקדם בפרינסטון החל מ-1954, פרופסורה באוניברסיטת ארהוס (Aarhus) בדנמרק בין 1966 ל-1969, ואחת באוניברסיטת קורנל בין 1969 ל-1975. לאחר 1979 לימד באוניברסיטת גקושואין (Gakushuin). דרך משרות אלו, המאמר שלו משנת 1942, שזכה בעבר להתעלמות, בנה לאט קהל עוקבים בינלאומי, ותלמידיו של איטו ביפן — ביניהם שינזו ווטנאבה (Shinzo Watanabe), מסאטושי פוקושימה (Masatoshi Fukushima) והירושי קוניטה (Hiroshi Kunita) — הרחיבו את שיטותיו למרחבים אינסופי-ממדיים ולתהליכי מרקוב סימטריים כלליים, והפכו את יפן לאחד המרכזים המובילים בעולם לתורת ההסתברות.
הכרה ופרס גאוס
ההצטיינות הצטברה בהתמדה במהלך הקריירה המאוחרת של איטו: פרס אסאהי (Asahi) היפני ב-1978, פרס הקיסר ופרס האקדמיה של יפן באותה שנה, פרס פוג'יווארה ב-1985, פרס וולף במתמטיקה ב-1987, ופרס קיוטו במדעים בסיסיים ב-1998. הוא נבחר לאקדמיה הלאומית למדעים של ארצות הברית ולאקדמיה הצרפתית למדעים וקיבל תארי דוקטור לשם כבוד מאוניברסיטת וורוויק ומ-ETH ציריך. שיא ההישגים הגיע ב-2006, כאשר האיגוד המתמטי הבינלאומי יצר את פרס קרל פרידריך גאוס במיוחד כדי להוקיר עבודה מתמטית בעלת חשיבות מעשית יוצאת דופן, ומינה את איטו — שהיה אז בן 91 — לזוכה הראשון שלו בקונגרס הבינלאומי של מתמטיקאים במדריד. איטו עצמו נראה מופתע מהאופן שבו הוצג הכבוד: "העובדה שעבודתי נבחרה לפרס גאוס עבור יישומים של מתמטיקה היא בלתי צפויה באמת ומתגמלת עמוקות," הוא אמר, והוסיף שתמיד החשיב את מחקרו כשייך למתמטיקה טהורה.
מלוח הגיר ועד רצפת המסחר
הצניעות הזו המעיטה בערך ההשפעה של מה שבנה. חשבון איטו הפך לתשתית המתמטית שמתחת למימון כמותי מודרני: מודל בלאק-שולס (Black–Scholes) לתמחור אופציות והתחום הרחב יותר של מימון סטוכסטי נשענים ישירות על פתרון משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות מסוג איטו עבור מחירי נכסים. מעבר למימון, המסגרת שלו הפכה לכלי סטנדרטי בתורת הסינון ועיבוד אותות, בגנטיקה של אוכלוסיות למידול סחף גנטי, ובפיזיקה סטטיסטית לתיאור מערכות המוטלטות על ידי רעש אקראי. מעט תוצאות מתמטיות מהמאה העשרים שנוצרו בלשכה לסטטיסטיקה ממשלתית, במאמר שכמעט איש לא קרא בתחילה, יכולות לטעון שהן יושבות כיום בתוך התוכנה של כל בנק גדול.
מדוע קיושי מכונה גאון
הטיעון בעד גאונותו של איטו צר אך חזק: הוא לא רק פתר בעיה פתוחה, הוא בנה את השפה — האינטגרל, המשוואה, כלל הגזירה — שתחום שלם לאחר מכן נזקק לה לפני שיוכל אפילו לשאול את שאלותיו. מתמטיקאים שעבדו במסורתו מתארים את הבנייה שלו מ-1942 כרגע שבו הניתוח הסטוכסטי הפך לקפדני ולא היוריסטי, כשהוא מאחד את האינטואיציה של לוי עם הפורמליזם של קולמוגורוב לכלים מדויקים מספיק כדי לשאת את המשקל שהונח עליהם מאוחר יותר על ידי כלכלנים ופיזיקאים. הסיבוך הכן הוא שזו לא הייתה תובנה של ברק שזכתה להכרה מיידית — נדרשו למעלה מעשור, לפי עדותו של איטו עצמו, לפני שיותר ממתמטיקאי אחד או שניים התעסקו בעבודה ברצינות, וחשיבותה המעשית הנפיצה במימון הפכה גלויה רק עשורים לאחר מכן, מונעת במידה ניכרת על ידי כלכלנים (פישר בלאק, מיירון שולס, רוברט מרטון) שהשתמשו בכלים שאיטו בנה למטרות אחרות. גאונותו, במילים אחרות, הייתה הבנייה הסבלנית והבודדת של מכונות מדויקות שאת ערכן המלא אפילו הוא לא צפה — קרוב יותר לתשתית יסוד של מהנדס מאשר להוכחה מסנוורת אחת.
מורשת
איטו נפטר ב-10 בנובמבר 2008, בקיוטו, בגיל 93. אוצר המילים שהכניס — אינטגרל איטו, תהליך איטו, הלמה של איטו — מוטמע כיום כל כך בתורת ההסתברות, בפיזיקה ובמימון, שהוא נלמד על ידי סטודנטים לתארים מתקדמים בקושי באזכור מקורו במשרד סטטיסטיקה יפני בזמן מלחמה. פרס גאוס שכתר את הקריירה שלו מוענק כעת מדי שנה למתמטיקאים שעבודתם התיאורטית עיצבה מחדש תחום חיצוני; חייו של איטו סיפקו את התבנית שהפרס הומצא כדי להוקיר.