דאדלי א' ליטלווד: הכלל שהוא לא הצליח להוכיח
בשנת 1934 פרסמו שני מתמטיקאים במכללה אוניברסיטאית וולשית קטנה חוק קומבינטורי השולט בדרך שבה אובייקטים אלגבריים מסוימים מוכפלים. הם הציגו זאת כמשפט. הם הוכיחו אותו רק עבור קומץ מקרים פרטיים פשוטים, והדוגמה המעובדת שהציעו להמחשת העניין הכילה שגיאות. הכלל היה נכון בכל מקרה. נדרשו למקצוע ארבעים שנה כדי להוכיח זאת, ועד אז הוא הפך לאחת התוצאות הנפוצות ביותר בשימוש באלגברה מודרנית. כפי שניסח זאת תיאורטיקן ההצגות גורדון ג'יימס (Gordon James), כלל ליטלווד-ריצ'רדסון "עזר להנחית אנשים על הירח, אך לא הוכח אלא לאחר שהם הגיעו לשם."
מטוטנהאם לטריניטי
דאדלי ארנסט ליטלווד נולד בלונדון ב-7 בספטמבר 1903, בנם היחיד של עדה פייפר (Ada Piper) והארי ברמלי ליטלווד (Harry Bramley Littlewood), פקיד של עורך דין. לא היה לו רקע מתמטי משפחתי ולא היה לו כסף; הוא הגיע למעמדו בזכות מבחנים. מבית הספר המחוזי טוטנהאם (Tottenham County School) במידלסקס הוא זכה במלגה מדינתית ובמלגת כניסה לקולג' טריניטי (Trinity College), קיימברידג'.
בטריניטי היה המדריך לתואר ראשון שלו ג'ון עדנסר ליטלווד (John Edensor Littlewood) – האנליסט הנודע ושותפו לעבודה של הארדי (Hardy), ללא קרבה משפחתית, צירוף מקרים שבלבל ביבליוגרפיות מאז ועד היום. הוא סיים את לימודיו ב-1925 כ-Wrangler בטריפוס המתמטי, באותה קבוצה כמו הול (Hall) והודג' (Hodge). לאחר מכן, ברוח שוק האקדמיה שבין שתי מלחמות העולם, לא קרה דבר. הוא לימד בבית ספר. ב-1928 הוא קיבל משרת מרצה זמנית וחלקית באוניברסיטת סוונסי (University College Swansea), ואחריה תפקיד קצר בקווינס קולג', דנדי (Queen's College, Dundee). הוא נשא לאישה את מיוריאל דוריס דייסון (Muriel Doris Dyson) ב-1930; בנם נולד ב-1935.
סוונסי וריצ'רדסון
סוונסי היא המקום שבו החלו חייו המתמטיים באמת, וזה קרה בגלל קולגה אחד. ארצ'יבלד ריד ריצ'רדסון (Archibald Read Richardson), פרופסור שם, הציג בפני ליטלווד את האלגברה – תחום שלא עסק בו קודם לכן. הוא חזר לסוונסי כמרצה עוזר ב-1930 והפך למרצה ב-1934, שם נשאר עד 1947. מאמריו המוקדמים עסקו באלגברות קווטרניונים ובתורת האינווריאנטים, עבודה מכובדת שלא הראתה סימנים מיוחדים למה שעתיד לבוא.
מה שבא היה המאמר משנת 1934 שנכתב עם ריצ'רדסון, "דמויות קבוצה ואלגברות" (Group characters and algebras). הוא הציג את האימננט (immanant) של מטריצה – הכללה שנמצאת בין הדטרמיננטה לפרמננטה – ועסק בפונקציות-S, שנקראות כיום באופן אוניברסלי פונקציות שור (Schur functions), המקודדות את הדמויות של החבורות הסימטריות והליניאריות הכלליות. המאמר שאל את השאלה המתבקשת הבאה: מה קורה כשמכפילים שתי פונקציות שור זו בזו? התשובה שהם הציעו היא שהמכפלה מתפרקת לסכום של פונקציות שור שהמקדמים שלהן סופרים טבלאות מסוימות – מערכים קומבינטוריים של תיבות הממולאות במספרים תחת כללים נוקשים.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →מדוע הכלל חשוב
הקביעה הבודדת הזו התגלתה ככזו שיושבת בצומת שבו נפגשים כמה תחומים. מקדמי ליטלווד-ריצ'רדסון נותנים את הריבוי כאשר מכפלות טנזוריות של הצגות ממד-סופי מתפרקות, וכאשר הצגות של חבורות סימטריות מושרות. הם קבועי המבנה של טבעת הפונקציות הסימטריות בבסיס שור. ובגאומטריה אלגברית הם מופיעים מחדש כמספרי חיתוך על גראסמניאנים (Grassmannians), הסופרים כיצד יריעות שוברט (Schubert varieties) נפגשות – קשר שאף אחד ב-1934 לא חיפש. ליטלווד עצמו עסק ביישומים של תורת ההצגות למכניקת הקוונטים.
ההוכחה, לעומת זאת, הייתה חסרה. גילברט דה בורגארד רובינסון (Gilbert de Beauregard Robinson) טען ב-1938 שהשלים אותה, אך ההסבר שלו היה מספיק מעורפל כך שהפערים בו לא התגלו במשך עשורים; איאן מקדונלד (Ian Macdonald) עדיין מילא כמה מהם ב-1995. הטיעונים הראשונים שעמדו בסטנדרטים מודרניים הגיעו מגלנפרוד פ' תומאס (Glânffrwd P. Thomas) ב-1974 ומרסל-פול שוצנברגר (Marcel-Paul Schützenberger) ב-1977, המבוססים על המנגנון הקומבינטורי של התאמת רובינסון-שנסטד (Robinson-Schensted correspondence) שפותחה על ידי שנסטד (Schensted), שוצנברגר ודונלד קנות' (Donald Knuth). בערך ארבעה עשורים הפרידו בין הטענה לבין ההוכחה.
ספרים ובנגור
ליטלווד הפך את מחקרו לספר שהפיץ את שמו הכי רחוק, תורת דמויות הקבוצה והצגות מטריצות של קבוצות (The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups), שפורסם ב-1940 עם מהדורה שנייה ב-1950 – במשך דור זה היה המקום הסטנדרטי ללמוד את הנושא באנגלית. הוא עקב אחריו עם מפתח השלד של המתמטיקה (The Skeleton Key of Mathematics) ב-1949, הסבר כללי שעבר כמה מהדורות מאוחרות יותר, ו-אלגברה אוניברסיטאית (A University Algebra) ב-1950, שעודכן ב-1961.
הוא בילה את השנים 1947 עד 1948 כמרצה אוניברסיטאי בקיימברידג', ולאחר מכן ב-1948 קיבל את הקתדרה למתמטיקה במכללה האוניברסיטאית של צפון ויילס בבנגור, שם החזיק במשך עשרים ושתיים שנים עד פרישתו ב-1970. עמיתים זכרו אדם ביישן ומופנם, תמיד עם חיוך ידידותי, אדיב ותומך, שקרא מדע בדיוני ושראה בפילוסופיה ובדת נושאים הראויים לחקירה הרבה יותר מאשר מתמטיקה – הודאה יוצאת דופן מפרופסור למקצוע.
מדוע דאדלי מכונה גאון
המילה מתייחסת ליכולת ספציפית וצרה: הוא יכול היה לראות את הצורה של מנגנון אלגברי לפני שמישהו יכול היה להוכיח שיש לו צורה כזו. תלמידו ג'יי איי גרין (J. A. Green) תיאר זאת בדיוק – "הכוח המתמטי של ליטלווד היה טמון בתובנה יוצאת הדופן שלו לגבי הדרך שבה תהליכים אלגבריים מסוימים עבדו." עמיתים ציינו תפיסה אינטואיטיבית חזקה של מתמטיקה פורמלית והעדפה גלויה לנוסחה שמישה על פני גזירה קפדנית, וציינו שהוא לקח את השיטות של פרובניוס (Frobenius), שור ווייל (Weyl) ועיבד אותן מחדש בשפה שלו במקום לשכפל אותן. הכלל מ-1934 הוא מקרה בוחן. ליטלווד וריצ'רדסון הגיעו לחוק קומבינטורי נכון על אובייקטים שאף אחד לא הבין במלואם, בתחום שבו אינטואיציה היא ידועה כלא אמינה, והם צדקו – בעוד כמה מתמטיקאים מוכשרים שניסו הוכחות במהלך ארבעים השנים הבאות טעו.
מקרה הנגד הוא אמיתי ולא רק פדנטי. הם פרסמו את הכלל כמשפט בעוד שהוכיחו רק מקרים פרטיים קלים, והדוגמה המחשתית שנתנו חושבה בצורה שגויה. אילו בוחן היה קפדן יותר, התוצאה הייתה עשויה להופיע כהשערה, שזה מה שהיא הייתה. עבודתו של מתמטיקאי היא הוכחה, ולפי סטנדרט זה התרומה המפורסמת ביותר של ליטלווד לא הייתה שלמה במשך ארבעה עשורים והושלמה על ידי אנשים אחרים שהשתמשו בכלים שלא היו לו. גוף עבודתו הרחב יותר – שלושה ספרים וסדרה של מאמרים על אינווריאנטים, אלגברות קווטרניונים ודמויות קבוצה – הוא מוצק ושימושי ולא מהפכני, והוא בילה את הקריירה שלו בסוונסי ובבנגור, הרחק ממרכזי הדיסציפלינה. פסק הדין הכנה הוא שהוא החזיק באינסטינקט מתמטי יוצא דופן באמת, שלא תאם באופן שווה לדיוק הנדרש כדי לממש אותו; המקצוע בילה תשעים שנה בלהרוויח מהאינסטינקט ולתקן את הדיוק.
מורשת
הוא פרש ב-1970 ומת בלנדודנו (Llandudno) ב-6 באוקטובר 1979, זמן קצר לאחר יום הולדתו ה-76, בעקבות נפילה שבה שבר את רגלו. הוא קבור בלינרוס (Llanrhos); מיוריאל האריכה ימים אחריו בעשר שנים. שמו נאמר כיום מדי יום על ידי אנשים שלא יודעים עליו דבר נוסף, משויך לכלל המהווה בסיס ללימוד המודרני של פונקציות סימטריות, תורת ההצגות של החבורות הקלאסיות, וחשבון שוברט (Schubert calculus). מעט מאוד מתמטיקאים זוכים לכך שמשפט ייקרא על שמם. מעטים עוד יותר זוכים לכך שפרסום המשפט הגיע לפני ההוכחה שלו.