Évariste Galois

Évariste Galois

Évariste Galois (/ɡælˈwɑː/ ; en français : [evaʁist ɡalwa] ; 25 octobre 1811 – 31 mai 1832) était un mathématicien et militant politique français. Alors qu'il était encore adolescent, il a réussi à déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme soit résoluble par radicaux, résolvant ainsi un problème ouvert depuis 350 ans. Ses travaux ont jeté les bases de la théorie de Galois et de la théorie des groupes, deux branches majeures de l'algèbre abstraite.

Galois était un républicain convaincu et a été fortement impliqué dans les troubles politiques entourant la Révolution française de 1830. En raison de son activisme politique, il a été arrêté à plusieurs reprises, purgeant une peine de prison de plusieurs mois. Pour des raisons qui restent obscures, peu après sa sortie de prison, Galois s'est battu en duel et est mort des suites de ses blessures.

Vie

### Jeunesse

Galois est né le 25 octobre 1811, fils de Nicolas-Gabriel Galois et Adélaïde-Marie (née Demante). Son père était républicain et chef du parti libéral de Bourg-la-Reine. Son père est devenu maire du village après le retour de Louis XVIII sur le trône en 1814. Sa mère, fille d'un juriste, lisait couramment le latin et la littérature classique et fut responsable de l'éducation de son fils pendant ses douze premières années.

En octobre 1823, il entra au lycée Louis-le-Grand où son professeur Louis Paul Émile Richard reconnut son génie. À l'âge de 14 ans, il commença à s'intéresser sérieusement aux mathématiques.

Galois trouva un exemplaire des Éléments de Géométrie d'Adrien-Marie Legendre, qu'il aurait lu « comme un roman » et maîtrisé dès la première lecture. À 15 ans, il lisait les articles originaux de Joseph-Louis Lagrange, tels que Réflexions sur la résolution algébrique des équations, qui ont probablement motivé ses travaux ultérieurs sur la théorie des équations, et Leçons sur le calcul des fonctions, un travail destiné aux mathématiciens professionnels ; pourtant, son travail scolaire restait sans inspiration et ses professeurs l'accusaient de se donner des airs de génie.

### Mathématicien en herbe

En 1828, Galois tenta le concours d'entrée à l'École Polytechnique, l'institution de mathématiques la plus prestigieuse de France à l'époque, sans la préparation habituelle en mathématiques, et échoua par manque d'explications lors de l'examen oral. La même année, il entra à l'École Normale (alors connue sous le nom d'École préparatoire), une institution bien inférieure pour les études mathématiques à cette époque, où il trouva quelques professeurs sympathiques à son égard.

L'année suivante, le premier article de Galois, sur les fractions continues simples, fut publié. C'est à peu près à la même époque qu'il commença à faire des découvertes fondamentales dans la théorie des équations polynomiales. Il soumit deux articles sur ce sujet à l'Académie des sciences. Augustin-Louis Cauchy arbitra ces articles, mais refusa de les accepter pour publication pour des raisons qui restent encore floues. Cependant, malgré de nombreuses affirmations contraires, il est largement admis que Cauchy a reconnu l'importance des travaux de Galois, et qu'il a simplement suggéré de combiner les deux articles en un seul afin de le présenter au concours du Grand Prix de mathématiques de l'académie. Cauchy, mathématicien éminent de l'époque mais aux opinions politiques diamétralement opposées à celles de Galois, considérait les travaux de Galois comme un candidat probable à la victoire.

Le 28 juillet 1829, le père de Galois mourut par suicide après un âpre différend politique avec le curé du village. Quelques jours plus tard, Galois fit sa deuxième et dernière tentative d'entrer à Polytechnique et échoua encore une fois. Il est incontesté que Galois était plus que qualifié ; les comptes rendus divergent sur la raison de son échec. Les explications les plus plausibles indiquent que Galois faisait trop de sauts logiques et déconcertait l'examinateur incompétent, ce qui mettait Galois en rage. La mort récente de son père a peut-être aussi influencé son comportement.

Ayant été refusé à l'École polytechnique, Galois passa les examens du baccalauréat afin d'entrer à l'École normale. Il réussit, obtenant son diplôme le 29 décembre 1829. Son examinateur en mathématiques rapporta : « Cet élève est parfois obscur dans l'expression de ses idées, mais il est intelligent et montre un esprit de recherche remarquable. »

Galois soumit son mémoire sur la théorie des équations à plusieurs reprises, mais il ne fut jamais publié de son vivant. Bien que sa première tentative ait été refusée par Cauchy, en février 1830, suivant la suggestion de Cauchy, il le soumit au secrétaire de l'académie Joseph Fourier, pour être considéré pour le Grand Prix de l'académie. Malheureusement, Fourier mourut peu après, et le mémoire fut perdu. Le prix fut décerné cette année-là à Niels Henrik Abel à titre posthume et également à Carl Gustav Jacob Jacobi. Malgré la perte du mémoire, Galois publia trois articles cette année-là. L'un jetait les bases de la théorie de Galois. Le second portait sur la résolution numérique des équations (recherche de racines en terminologie moderne). Le troisième était important en théorie des nombres, où le concept de corps fini fut articulé pour la première fois.

### Militant politique

Galois a vécu à une époque de troubles politiques en France. Charles X avait succédé à Louis XVIII en 1824, mais en 1827, sa faction subit un revers électoral majeur et, en 1830, le parti libéral d'opposition devint majoritaire. Charles, confronté à l'opposition politique des chambres, organisa un coup d'État et publia ses tristement célèbres Ordonnances de juillet, déclenchant la Révolution de juillet qui se termina par l'accession au trône de Louis-Philippe Ier. Alors que leurs homologues de Polytechnique écrivaient l'histoire dans la rue, Galois, à l'École Normale, était enfermé par le directeur de l'école. Galois, furieux, écrivit une lettre cinglante critiquant le directeur, qu'il soumit à la Gazette des Écoles, signant la lettre de son nom complet. Bien que l'éditeur de la Gazette ait omis la signature pour la publication, Galois fut expulsé.

Bien que son expulsion n'ait pris effet officiellement que le 4 janvier 1831, Galois quitta l'école immédiatement et rejoignit l'unité d'artillerie de la Garde nationale, farouchement républicaine. Il partageait son temps entre ses travaux mathématiques et ses affiliations politiques. En raison de la controverse entourant l'unité, peu après que Galois en soit devenu membre, le 31 décembre 1830, l'artillerie de la Garde nationale fut dissoute par crainte qu'elle ne déstabilise le gouvernement. À peu près au même moment, dix-neuf officiers de l'ancienne unité de Galois furent arrêtés et inculpés de complot en vue de renverser le gouvernement.

En avril 1831, les officiers furent acquittés de tous les chefs d'accusation, et le 9 mai 1831, un banquet fut organisé en leur honneur, en présence de nombreuses personnalités illustres, comme Alexandre Dumas. La procédure devint tumultueuse. À un moment donné, Galois se leva et proposa un toast en disant : « À Louis-Philippe », avec un poignard au-dessus de sa coupe. Les républicains présents au banquet interprétèrent le toast de Galois comme une menace contre la vie du roi et applaudirent. Il fut arrêté le lendemain au domicile de sa mère et maintenu en détention à la prison de Sainte-Pélagie jusqu'au 15 juin 1831, date de son procès. L'avocat de la défense de Galois prétendit habilement que Galois avait en réalité dit : « À Louis-Philippe, s'il trahit », mais que le qualificatif avait été noyé dans les acclamations. Le procureur posa quelques questions supplémentaires, et peut-être influencé par la jeunesse de Galois, le jury l'acquitta le jour même.

Le jour de la Bastille suivant (14 juillet 1831), Galois était à la tête d'une manifestation, portant l'uniforme de l'artillerie dissoute, et était lourdement armé de plusieurs pistolets, d'un fusil chargé et d'un poignard. Il fut arrêté à nouveau. Pendant son séjour en prison, Galois a un jour bu de l'alcool pour la première fois sous l'incitation de ses codétenus. L'un de ces détenus, François-Vincent Raspail, a consigné ce que Galois a dit en état d'ivresse dans une lettre du 25 juillet. Extrait de la lettre :

> Et je te le dis, je mourrai en duel à l'occasion de quelque coquette de bas étage. Pourquoi ? Parce qu'elle m'invitera à venger son honneur qu'un autre a compromis.

Sais-tu ce qui me manque, mon ami ? Je ne peux le confier qu'à toi : c'est quelqu'un que je peux aimer et n'aimer qu'en esprit. J'ai perdu mon père et personne ne l'a jamais remplacé, m'entends-tu... ?

Raspail poursuit en disant que Galois, toujours en plein délire, a tenté de se suicider, et qu'il aurait réussi si ses codétenus ne l'en avaient pas empêché de force. Des mois plus tard, lors du procès de Galois le 23 octobre, il fut condamné à six mois de prison pour port illégal d'uniforme. En prison, il continua à développer ses idées mathématiques. Il fut libéré le 29 avril 1832.

### Derniers jours

Galois retourna aux mathématiques après son expulsion de l'École Normale, bien qu'il ait continué à consacrer du temps à des activités politiques. Une fois son expulsion officialisée en janvier 1831, il tenta de lancer un cours privé d'algèbre avancée qui suscita un certain intérêt, mais celui-ci diminua, car il semblait que son militantisme politique était prioritaire. Siméon Denis Poisson lui demanda de soumettre ses travaux sur la théorie des équations, ce qu'il fit le 17 janvier 1831. Vers le 4 juillet 1831, Poisson déclara les travaux de Galois « incompréhensibles », déclarant que « [l'argument de Galois] n'est ni assez clair ni assez développé pour nous permettre de juger de sa rigueur » ; cependant, le rapport de rejet se terminait sur une note encourageante : « Nous suggérerions alors à l'auteur de publier l'ensemble de ses travaux afin de se faire une opinion définitive ». Bien que le rapport de Poisson ait été rédigé avant l'arrestation de Galois le 14 juillet, il fallut attendre octobre pour qu'il parvienne à Galois en prison. Il n'est pas surprenant, compte tenu de son caractère et de sa situation à l'époque, que Galois ait réagi violemment à la lettre de rejet et ait décidé d'abandonner la publication de ses articles par l'intermédiaire de l'académie pour les publier plutôt à titre privé par l'intermédiaire de son ami Auguste Chevalier. Apparemment, cependant, Galois n'a pas ignoré les conseils de Poisson, car il a commencé à rassembler tous ses manuscrits mathématiques alors qu'il était encore en prison, et a continué à peaufiner ses idées jusqu'à sa libération le 29 avril 1832, après quoi il a été convaincu d'une manière ou d'une autre de participer à un duel.

Le duel fatal de Galois eut lieu le 30 mai. Les véritables mobiles du duel sont obscurs. Il y a eu beaucoup de spéculations à leur sujet. Ce qui est sûr, c'est que, cinq jours avant sa mort, il écrivit une lettre à Chevalier qui fait clairement allusion à une histoire d'amour brisée.

Une enquête archivistique sur les lettres originales suggère que la femme qui suscitait son intérêt romantique était Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, la fille du médecin de l'auberge où Galois a séjourné au cours des derniers mois de sa vie. Des fragments de lettres d'elle, copiés par Galois lui-même (dont de nombreuses parties, comme son nom, sont soit effacées, soit délibérément omises), sont disponibles. Les lettres laissent entendre que Poterin du Motel avait confié certains de ses ennuis à Galois, et cela pourrait l'avoir poussé à provoquer lui-même le duel en son nom. Cette conjecture est également étayée par d'autres lettres que Galois a écrites plus tard à ses amis la veille de sa mort. Le cousin de Galois, Gabriel Demante, lorsqu'on lui a demandé s'il connaissait la cause du duel, a mentionné que Galois « s'est retrouvé en présence d'un prétendu oncle et d'un prétendu fiancé, qui ont chacun provoqué le duel ». Galois lui-même s'est exclamé : « Je suis la victime d'une infâme coquette et de ses deux dupes. »

Quant à son adversaire dans le duel, Alexandre Dumas nomme Pescheux d'Herbinville, qui était en fait l'un des dix-neuf officiers d'artillerie dont l'acquittement avait été célébré lors du banquet qui avait occasionné la première arrestation de Galois. Cependant, Dumas est seul dans cette assertion, et s'il avait raison, on ne comprend pas pourquoi d'Herbinville aurait été impliqué. Il a été spéculé qu'il était le « prétendu fiancé » de Poterin du Motel à l'époque (elle a finalement épousé quelqu'un d'autre), mais aucune preuve claire n'a été trouvée pour étayer cette conjecture. D'un autre côté, des coupures de presse existantes datant de quelques jours seulement après le duel donnent une description de son adversaire (identifié par les initiales « L.D. ») qui semble s'appliquer plus précisément à l'un des amis républicains de Galois, très probablement Ernest Duchatelet, qui fut emprisonné avec Galois pour les mêmes motifs. Compte tenu des informations contradictoires disponibles, la véritable identité de son tueur pourrait bien être perdue dans l'histoire.

Quelles que soient les raisons du duel, Galois était si convaincu de sa mort imminente qu'il est resté éveillé toute la nuit à écrire des lettres à ses amis républicains et à composer ce qui allait devenir son testament mathématique, la célèbre lettre à Auguste Chevalier exposant ses idées, et trois manuscrits joints. Le mathématicien Hermann Weyl a déclaré à propos de ce testament : « Cette lettre, si l'on en juge par la nouveauté et la profondeur des idées qu'elle contient, est peut-être le texte le plus substantiel de toute la littérature de l'humanité. » Cependant, la légende selon laquelle Galois aurait couché ses pensées mathématiques sur papier la veille de sa mort semble avoir été exagérée. Dans ces derniers documents, il a esquissé les grandes lignes de certains travaux qu'il effectuait en analyse et a annoté une copie du manuscrit soumis à l'académie et d'autres articles.

Tôt le matin du 30 mai 1832, il reçut une balle dans l'abdomen, fut abandonné par ses adversaires et ses propres témoins, et fut trouvé par un fermier qui passait par là. Il mourut le lendemain matin à dix heures à l'hôpital Cochin (probablement d'une péritonite), après avoir refusé les services d'un prêtre. Ses funérailles se terminèrent par des émeutes. Il y avait des plans pour lancer un soulèvement pendant ses funérailles, mais au même moment les chefs apprirent la mort du général Jean Maximilien Lamarque et le soulèvement fut reporté sans qu'aucune révolte ne se produise avant le 5 juin. Seul le frère cadet de Galois fut informé des événements avant la mort de Galois. Galois avait 20 ans. Ses derniers mots à son frère cadet Alfred furent :

> « Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans ! »

Le 2 juin, Évariste Galois a été enterré dans une fosse commune du cimetière du Montparnasse dont l'emplacement exact est inconnu. Dans le cimetière de sa ville natale – Bourg-la-Reine – un cénotaphe en son honneur a été érigé à côté des tombes de ses parents.

En 1842, Joseph Liouville commença à étudier les papiers inédits de Galois et en reconnut la valeur en 1843. On ne sait pas clairement ce qui s'est passé au cours des dix années entre 1832 et 1842, ni ce qui a finalement inspiré Liouville à commencer à lire les papiers de Galois. Jesper Lützen explore ce sujet assez longuement au chapitre XIV, Théorie de Galois, de son livre sur Joseph Liouville sans arriver à des conclusions définitives.

Il est certainement possible que les mathématiciens (y compris Liouville) n'aient pas voulu rendre publics les travaux de Galois parce que Galois était un militant politique républicain mort 5 jours avant la rébellion de juin, une insurrection anti-monarchiste infructueuse de républicains parisiens. Dans la nécrologie de Galois, son ami Auguste Chevalier accusait presque les académiciens de l'École Polytechnique d'avoir tué Galois car, s'ils n'avaient pas rejeté ses travaux, il serait devenu mathématicien et ne se serait pas consacré au militantisme politique républicain pour lequel certains croyaient qu'il avait été tué. Étant donné que la France vivait encore sous l'ombre de la Terreur et de l'ère napoléonienne, Liouville pourrait avoir attendu que les troubles politiques se calment (après l'échec de la rébellion de juin et ses conséquences) avant de porter son attention sur les papiers de Galois.

Liouville a finalement publié les manuscrits de Galois dans le numéro d'octobre-novembre 1846 du Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. La contribution la plus célèbre de Galois fut une preuve inédite de l'inexistence d'une formule pour les équations du cinquième degré – c'est-à-dire que les équations de cinquième degré et plus ne sont généralement pas résolubles par radicaux. Bien que Niels Henrik Abel ait déjà prouvé l'impossibilité d'une « formule pour le cinquième degré » par radicaux en 1824 et que Paolo Ruffini ait publié une solution en 1799 qui s'avéra erronée, les méthodes de Galois ont conduit à des recherches plus approfondies sur ce qu'on appelle maintenant la théorie de Galois, qui peut être utilisée pour déterminer, pour toute équation polynomiale, si elle possède une solution par radicaux.

Contributions aux mathématiques

Extrait des dernières lignes d'une lettre de Galois à son ami Auguste Chevalier, datée du 29 mai 1832, deux jours avant la mort de Galois :

> Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

>(Demandez publiquement à Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non pas sur la vérité, mais sur l'importance de ces théorèmes. Plus tard, il y aura, je l'espère, des gens qui trouveront un profit à déchiffrer tout ce gâchis.)

Dans la soixantaine de pages des œuvres complètes de Galois figurent de nombreuses idées importantes qui ont eu des conséquences considérables pour presque toutes les branches des mathématiques. Ses travaux ont été comparés à ceux de Niels Henrik Abel (1802-1829), mathématicien contemporain lui aussi décédé très jeune, et dont une grande partie des travaux présentait des recoupements significatifs.

### Algèbre

Alors que de nombreux mathématiciens avant Galois ont pris en considération ce que l'on appelle aujourd'hui des groupes, il a été le premier à utiliser le mot groupe (en français groupe) dans un sens proche du sens technique compris aujourd'hui, faisant de lui l'un des fondateurs de la branche de l'algèbre connue sous le nom de théorie des groupes. Il a qualifié la décomposition d'un groupe en ses classes latérales gauche et droite de décomposition propre si les classes latérales gauche et droite coïncident, ce qui conduit à la notion de ce que l'on appelle aujourd'hui des sous-groupes normaux. Il a également introduit le concept de corps fini (également connu sous le nom de corps de Galois en son honneur) essentiellement sous la même forme qu'il est compris aujourd'hui.

Dans sa dernière lettre à Chevalier et dans les manuscrits joints, le deuxième sur trois, il a réalisé des études fondamentales des groupes linéaires sur les corps finis :

Il a construit le groupe linéaire général sur un corps premier, GL(ν, p) et a calculé son ordre, en étudiant le groupe de Galois de l'équation générale de degré p.

- Il a construit le groupe linéaire spécial projectif PSL(2,p). Galois les a construits sous forme de transformations linéaires fractionnaires, et a observé qu'ils étaient simples sauf si p valait 2 ou 3. Il s'agissait de la deuxième famille de groupes simples finis, après les groupes alternés. - Il a noté le fait exceptionnel que PSL(2,p) est simple et agit sur p points si et seulement si p vaut 5, 7 ou 11.

### Théorie de Galois

La contribution la plus significative de Galois aux mathématiques est son développement de la théorie de Galois. Il a réalisé que la solution algébrique d'une équation polynomiale est liée à la structure d'un groupe de permutations associé aux racines du polynôme, le groupe de Galois du polynôme. Il a découvert qu'une équation pouvait être résolue par radicaux si l'on pouvait trouver une série de sous-groupes de son groupe de Galois, chacun normal dans son successeur avec un quotient abélien, c'est-à-dire que son groupe de Galois est résoluble. Cela s'est avéré être une approche fertile, que les mathématiciens ultérieurs ont adaptée à de nombreux autres domaines des mathématiques en plus de la théorie des équations à laquelle Galois l'avait initialement appliquée.

### Analyse

Galois a également apporté quelques contributions à la théorie des intégrales abéliennes et des fractions continues.

Comme il l'a écrit dans sa dernière lettre, Galois est passé de l'étude des fonctions elliptiques à la considération des intégrales des différentielles algébriques les plus générales, aujourd'hui appelées intégrales abéliennes. Il a classé ces intégrales en trois catégories.

### Fractions continues

Dans son premier article en 1828, Galois a prouvé que la fraction continue régulière qui représente un nombre irrationnel quadratique ζ est purement périodique si et seulement si ζ est un irrationnel réduit, c'est-à-dire

ζ > 1

{\displaystyle \zeta >1}

et son conjugué

η

{\displaystyle \eta }

satisfait

1 < η < 0

{\displaystyle -1<\eta <0}

.

En fait, Galois a montré plus que cela. Il a également prouvé que si ζ est un irrationnel quadratique réduit et η est son conjugué, alors les fractions continues pour ζ et pour (−1/η) sont toutes deux purement périodiques, et le bloc répétitif dans l'une de ces fractions continues est l'image miroir du bloc répétitif dans l'autre. En symboles, nous avons

ζ

= [

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

m − 1

¯

]

1

η

= [

a

m − 1

;

a

m − 2

,

a

m − 3

, … ,

a

0

¯

]

{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[\,{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}\,]\\{\frac {-1}{\eta }}&=[\,{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}\,]\,\end{aligned}}}

où ζ est tout irrationnel quadratique réduit, et η est son conjugué.

De ces deux théorèmes de Galois, on peut déduire un résultat déjà connu de Lagrange. Si r > 1 est un nombre rationnel qui n'est pas un carré parfait, alors

r

=

[

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

2

,

a

1

, 2

a

0

¯

]

.

{\displaystyle {\sqrt {r}}=\left[\,a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}\,\right].}

En particulier, si n est un entier positif quelconque non carré, le développement en fraction continue régulière de √n contient un bloc répétitif de longueur m, dans lequel les m - 1 premiers dénominateurs partiels forment une chaîne palindromique.