Tomasz Mrowka : Le topologue qui a dompté quatre dimensions

Tomasz Mrowka a consacré une grande partie de sa carrière à démontrer des propriétés de l'espace à quatre dimensions que personne d'autre ne pouvait aborder, en utilisant des équations empruntées à la physique des particules pour résoudre des questions séculaires de topologie pure. Son résultat le plus cité, élaboré avec un collaborateur de longue date, a permis de résoudre une conjecture que les mathématiciens avaient cessé d'essayer de prouver, en quelques pages d'analyse dense.

Un héritage mathématique

Mrowka est né le 8 septembre 1961, fils du mathématicien polono-américain Stanisław Mrówka, spécialiste de topologie générale ayant émigré aux États-Unis et enseigné à la City University of New York. Le parcours du fils est passé par le MIT pour ses études de premier cycle, où il a obtenu sa licence en 1983, puis par l'Université de Californie à Berkeley, où il a terminé son doctorat en 1988 sous la direction de Clifford Taubes et Robion Kirby avec une thèse sur les espaces de modules de Yang-Mills. Le choix du directeur de thèse fut crucial : Taubes était au centre d'une révolution transformant la topologie de basse dimension, important les mécanismes de la physique théorique — la théorie de jauge, les mathématiques développées pour décrire les forces liant les noyaux atomiques — dans l'étude des formes abstraites.

La théorie de jauge comme outil du topologue

L'idée motrice de cette révolution, associée avant tout à Simon Donaldson, était que les solutions aux équations de champ des physiciens, lorsqu'elles sont étudiées sur une variété à quatre dimensions, encodent des informations subtiles sur la forme de la variété qu'aucune technique topologique classique ne pouvait voir. Mrowka est devenu l'un des manipulateurs les plus habiles de cette machinerie. Au début de sa carrière, il est passé par Stanford, un poste de professeur invité à Caltech, puis une chaire là-bas de 1992 à 1996, avant de rejoindre le département de mathématiques du MIT en 1996, où il est resté pour le reste de sa carrière — occupant la chaire Simons de 2007 à 2010, la chaire Singer à partir de 2010, et dirigeant le département de 2014 à 2017.

Le partenariat avec Kronheimer

La relation scientifique déterminante de Mrowka a été sa collaboration de plusieurs décennies avec le mathématicien anglo-américain Peter Kronheimer, rencontré en tant que doctorant dans le cercle Yang-Mills des années 1980. Ensemble, ils ont produit un travail suffisamment substantiel pour que l'American Mathematical Society l'ait honoré deux fois en tant que réalisation conjointe plutôt que de créditer l'un ou l'autre. Leur premier résultat majeur a introduit ce que le domaine appelle désormais les classes de base de Kronheimer-Mrowka, des invariants qui extraient des informations topologiques sur une variété de dimension quatre à partir de la structure de ses espaces de modules d'instantons, affinant les invariants originaux de Donaldson sous une forme plus précise et calculable.

Résoudre la conjecture de Thom

Leur réalisation individuelle la plus célèbre est survenue au début des années 1990, après que la découverte des équations de Seiberg-Witten a offert aux théoriciens de jauge une alternative techniquement plus simple à l'ancienne approche de Yang-Mills. Kronheimer et Mrowka ont utilisé les nouvelles équations pour prouver la conjecture de Thom, une affirmation ouverte depuis les années 1950 concernant le genre minimal d'une surface représentant une classe d'homologie donnée dans le plan projectif complexe. La preuve fut l'une des premières et des plus spectaculaires démonstrations que la théorie de Seiberg-Witten pouvait résoudre des problèmes que la génération précédente de théoriciens de jauge trouvait insolubles, et elle a contribué à déclencher la migration massive du domaine vers les nouvelles équations.

Nœuds, monopôles et propriété P

Les travaux ultérieurs de Mrowka ont appliqué la même boîte à outils à la théorie des nœuds. Avec Kronheimer, il a utilisé l'homologie de Floer des monopôles de Seiberg-Witten pour prouver la conjecture de la propriété P, une question de longue date sur les chirurgies sur un complément de nœud pouvant produire la trois-sphère — un résultat ayant une incidence directe sur la topologie des trois-variétés plus largement. Le duo a ensuite montré que l'homologie de Khovanov, un invariant combinatoire de nœuds sans origine géométrique évidente, est assez puissante pour détecter le nœud trivial, reliant deux branches du sujet — l'homologie de Floer de théorie de jauge et la construction algébrique de Mikhail Khovanov — qui s'étaient développées presque indépendamment. Leur monographie sur les monopôles et les trois-variétés, publiée en 2007, reste une référence standard dans le domaine.

Reconnaissance

Le jugement de la communauté mathématique sur cet ensemble de travaux a été inhabituellement cohérent. Mrowka et Kronheimer ont partagé le prix Oswald Veblen en géométrie en 2007, le prix Joseph L. Doob de l'AMS en 2011, et — le signal le plus clair que les pairs d'un mathématicien peuvent envoyer — le prix Leroy P. Steele pour une contribution séminale à la recherche en 2023, décerné spécifiquement pour les articles introduisant les classes de base de Kronheimer-Mrowka et les appliquant à la conjecture de Thom. Mrowka a été élu indépendamment à l'American Academy of Arts and Sciences en 2007 et à la National Academy of Sciences en 2015, et il a donné des conférences plénières au Congrès international des mathématiciens en 1994 et à nouveau en 2018 à Rio de Janeiro. Il a également bénéficié de bourses Sloan et Guggenheim et a encadré des dizaines d'étudiants en doctorat et de postdoctorants au MIT.

Pourquoi Tomasz est qualifié de génie

Le cas de Mrowka repose sur un type de maîtrise technique spécifique et bien documenté : la capacité de prendre des équations de la physique théorique et de les pousser, par une analyse extrêmement délicate d'équations aux dérivées partielles non linéaires, à répondre à des questions de topologie pure restées sans solution pendant des décennies. La conjecture de Thom avait résisté à une attaque directe depuis les années 1950 ; la conjecture de la propriété P appartenait à une famille tout aussi ancienne et tenace de problèmes de trois-variétés. Les deux sont tombées non pas devant une nouvelle idée sur les nœuds ou les surfaces en tant que tels, mais devant la maîtrise par Mrowka et Kronheimer de l'analyse des espaces de modules — la couche technique la plus difficile de la théorie de jauge, où la plupart des mathématiciens comprenant la physique ne pouvaient toujours pas faire fonctionner les estimations. Son élection à la National Academy of Sciences et la citation du prix Steele reflètent un consensus authentique parmi les topologues sur le caractère singulier de ce travail. La complication honnête est que presque rien de tout cela n'est en solo : chaque résultat historique discuté ici est conjoint avec Peter Kronheimer, et les prix Veblen, Doob et Steele ont tous été décernés au duo, ce qui rend le génie de Mrowka, selon les preuves, indissociable d'un partenariat plutôt que d'un don solitaire.

Héritage

Les classes de base de Mrowka et ses arguments de Seiberg-Witten avec Kronheimer sont désormais des outils standard enseignés à chaque étudiant diplômé entrant dans la topologie de basse dimension, et son mandat à la tête du département de mathématiques du MIT a laissé une marque institutionnelle aux côtés de la marque mathématique. Les preuves de Thom et de la propriété P restent, quatre décennies après que Taubes et Donaldson ont ouvert le domaine, parmi les démonstrations les plus claires de ce que la théorie de jauge peut faire pour la topologie.