Pál Turán : Théorèmes depuis un camp de travail

En juillet 1944, un Juif hongrois aux travaux forcés poussait des wagonnets de briques sur des rails dans une usine près de Budapest. Là où les voies se croisaient, les wagonnets secouaient et le travail devenait plus difficile. La plupart des hommes auraient maudit les croisements. Turán commença à se demander quel était le nombre minimum possible de croisements pour m fours et n entrepôts — et ce faisant, il posa ce qu'on appelle aujourd'hui le problème de la briqueterie de Turán, l'une des questions fondatrices de la théorie des nombres de croisements. Il était prisonnier. Il était aussi, à ce moment-là, en train de faire des mathématiques.

Budapest, Fejér et une porte fermée

Turán est né le 18 août 1910 à Budapest, alors en Autriche-Hongrie, dans une famille juive hongroise. Son talent s'est révélé au lycée. Il a obtenu son diplôme d'enseignement à l'Université de Budapest en 1933 et son doctorat en 1935 à l'Université Eötvös Loránd sous la direction de Lipót Fejér, figure centrale de l'analyse hongroise.

Il a publié deux articles importants en 1933 dans les journaux des sociétés mathématiques américaine et londonienne. Cela n'a fait aucune différence pour son employabilité. Les lois hongroises sur le numerus clausus restreignant la participation des Juifs à l'enseignement supérieur l'ont tenu à l'écart d'un travail universitaire stable pendant des années, et le poste qu'il a finalement obtenu en 1938 était dans une école de formation rabbinique à Budapest. Voici un mathématicien publiant à l'international à vingt-trois ans et enseignant dans un séminaire à vingt-huit ans parce que l'État l'avait légalement exclu de l'université.

Rencontre avec Erdős

Le 1er septembre 1930, lors d'un séminaire de mathématiques à l'Université de Budapest, Turán a rencontré Paul Erdős. Tous deux avaient été des résolveurs remarqués dans le journal de problèmes KöMaL lorsqu'ils étaient écoliers. La collaboration qui a commencé ce jour-là a duré quarante-six ans et a produit vingt-huit articles conjoints — l'un des grands partenariats soutenus des mathématiques du XXe siècle, et la source d'une grande partie de ce que nous savons sur le caractère de Turán, car Erdős a écrit longuement sur lui sans le flatter.

Cinq ans dans les camps

En septembre 1940, Turán a été arrêté en raison de ses origines juives et envoyé dans des camps de travail. Il a passé cinq ans dans divers camps à travers la Transylvanie et la Hongrie.

Cette période aurait dû être un vide dans sa bibliographie. Ce ne fut pas le cas. Un officier nommé Joshef Winkler, lui-même formé aux mathématiques, a reconnu le nom de Turán et a organisé des tâches plus légères pour lui. Turán a utilisé la marge que cela lui offrait. Il a composé un article important sur la fonction zêta de Riemann pendant son internement, et s'est maintenu intact en résolvant des problèmes dans sa tête et en réfléchissant à des problèmes. L'observation de la briqueterie est survenue en juillet 1944 ; il ne l'a reprise sérieusement qu'après 1952, mais la question est née sur les rails.

Erdős l'a dit sans détour : Turán « n'a pas perdu son esprit même dans les camps nazis et y a fait un travail brillant ». Il a été libéré en 1944 et est retourné à l'enseignement.

Théorie extrémale des graphes

La chose la plus importante que Turán a construite, il l'a construite alors qu'il était emprisonné. Erdős encore : « En 1940–1941, il a créé le domaine des problèmes extrémaux en théorie des graphes, qui est maintenant l'un des sujets à la croissance la plus rapide en combinatoire. »

Le résultat fondateur, le théorème de Turán, donne une borne supérieure sur le nombre d'arêtes qu'un graphe peut avoir sans contenir un sous-graphe complet sur r sommets. Pour le prouver, il a inventé le graphe de Turán, une généralisation des graphes bipartis complets. L'importance du théorème n'est pas la borne spécifique mais la forme de question qu'il a établie : quelle quantité de structure peut-on avoir avant qu'un certain motif ne soit forcé d'apparaître ? Cette question, posée dans des milliers de contextes depuis, est ce qu'est la combinatoire extrémale. Le théorème de Kővári–Sós–Turán a étendu l'approche aux graphes bipartis avec des sous-graphes interdits.

Le crible et la somme de puissances

La théorie des nombres était son domaine principal. Le crible de Turán, de 1934, a donné une preuve simplifiée d'un résultat de 1917 de Hardy et Ramanujan sur l'ordre normal du nombre de diviseurs premiers distincts. Halász a identifié sa signification réelle : « Sa véritable signification réside dans le fait qu'il a été le point de départ de la théorie probabiliste des nombres. » Une simplification qui fonde une discipline n'est pas une simplification. L'inégalité de Turán–Kubilius a généralisé le travail.

Il a inventé le terme « course aux nombres premiers » pour les irrégularités dans la façon dont les nombres premiers se répartissent dans les classes de résidus, travaillant avec Knapowski sur des résultats concernant le biais de Tchebychev. La conjecture d'Erdős–Turán concerne les nombres premiers en progression arithmétique. Et il a développé la méthode de la somme de puissances, une technique pour les inégalités sur les sommes de puissances des zéros de la fonction zêta de Riemann, avec des applications atteignant l'analyse complexe, l'analyse numérique, les équations différentielles, la théorie des nombres transcendants et l'estimation des zéros en général.

Sur l'hypothèse elle-même, Erdős a noté que Turán était « un 'incrédule', en fait, un 'païen' : il ne croyait pas à la vérité de l'hypothèse de Riemann ». Son analyse a produit les inégalités de Turán sur les polynômes de Legendre et, avec Erdős, l'inégalité d'équidistribution d'Erdős–Turán.

Un diagnostic gardé secret

Il est devenu professeur associé à l'Université de Budapest en 1945 et professeur titulaire en 1949. Le prix Kossuth est arrivé en 1948 et à nouveau en 1952 ; il a été élu membre correspondant de l'Académie hongroise des sciences en 1948 et membre ordinaire en 1953. Il a fondé et présidé la Société mathématique János Bolyai, a siégé aux comités de rédaction de revues de premier plan, a pris la parole au Congrès international des mathématiciens en 1970 et a été invité au comité du prix Fields cette année-là. Le prix Tibor Szele a suivi en 1975.

Il a épousé Edit Kóbor en 1939, avec qui il a eu un fils, Róbert ; en 1952, il a épousé la mathématicienne Vera Sós, avec qui il a publié conjointement et a eu deux fils, György et Tamás.

Vers 1970, on lui a diagnostiqué une leucémie. Seule Vera le savait. Elle a choisi de ne pas le lui dire, croyant qu'il était « trop amoureux de la vie » et qu'il aurait désespéré. Elle ne l'a dit à Erdős qu'en 1976. Erdős a plus tard déploré le coût : ne sachant pas que son temps était compté, Turán a reporté certains travaux « pour plus tard » et ne les a jamais terminés.

Pourquoi Pál est appelé un génie

La faculté spécifique est la création de problèmes au niveau de disciplines entières. Les théorèmes individuels de Turán sont forts, mais sa signature est que trois domaines distincts tracent leur origine jusqu'à lui : la théorie extrémale des graphes, qu'Erdős lui attribue explicitement d'avoir créée en 1940–41 ; la théorie probabiliste des nombres, qui, selon Halász, a commencé avec son crible de 1934 ; et la théorie des nombres de croisements, qui a commencé avec des briques. Fonder un domaine est une carrière. En fonder trois est autre chose — un instinct inhabituel pour la question sous-jacente à la question, dont la forme générale est une instance d'une difficulté spécifique.

Les circonstances renforcent l'affirmation plutôt que de simplement la décorer. Il a créé la théorie extrémale des graphes dans un camp de travail, sans bibliothèque, sans collègues et sans papier, gardant les structures dans sa tête. Erdős, qui n'était pas sentimental sur les capacités mathématiques et connaissait tous ceux qui valaient la peine d'être connus, a dit qu'il y avait fait un travail brillant.

Le contre-argument est plus mince que d'habitude mais réel. Erdős était son ami le plus proche pendant quarante-six ans et son évaluateur le plus cité, ce qui n'est pas une source indépendante. La méthode de la somme de puissances de Turán, malgré toute sa portée, n'a pas résolu l'hypothèse de Riemann à laquelle il ne croyait pas. Ses honneurs — deux prix Kossuth, le prix Szele, l'appartenance à l'académie — sont des reconnaissances nationales hongroises plutôt que les plus hautes distinctions internationales de la discipline. Et la croissance explosive de la théorie extrémale des graphes doit beaucoup à ceux qui l'ont développée après lui. Il a posé la question ; d'autres ont construit le sujet.

Héritage

Turán est mort de leucémie à Budapest le 26 septembre 1976, à l'âge de soixante-six ans, ignorant toujours ce qui le tuait. Chaque cours de combinatoire enseigne maintenant son théorème, et la théorie probabiliste des nombres date sa fondation à un crible qu'il a conçu à vingt-quatre ans. Le problème de la briqueterie reste ouvert en général. C'est un monument approprié : une question posée par un prisonnier observant des croisements de rails, à laquelle la discipline n'a pas encore fini de répondre.