Maxim Kontsevich : Le mathématicien qui a rendu la physique rigoureuse

En 1990, un chercheur soviétique de 25 ans, sans diplôme universitaire, était assis dans un amphithéâtre à Bonn et écoutait Michael Atiyah — « un éminent mathématicien britannique qui parlait de choses merveilleuses », comme il l'a dit plus tard — décrire une conjecture scandaleuse d'Edward Witten sur la géométrie des courbes. Quelques jours plus tard, lors d'une excursion en bateau sur le Rhin, Kontsevich expliquait à ses collègues comment il comptait la démontrer. Il fut réinvité à Bonn pour une année entière. Deux ans plus tard, la démonstration constituait sa thèse de doctorat.

Khimki, le coréen et une olympiade

Il est né le 25 août 1964 à Khimki, près de Moscou, dans une famille de grande érudition. Son père, Lev Rafailovich Kontsevich, était un éminent spécialiste du coréen à l'Institut d'études orientales de l'Académie des sciences de Russie et l'auteur du système Kontsevich, qui reste la méthode standard de translittération du coréen en cyrillique. Sa mère était ingénieure ; son frère aîné Leonid s'est orienté vers la recherche en imagerie informatique à San Francisco. Kontsevich attribue à son frère, et à « quelques très bons livres », son orientation vers les mathématiques et la physique.

Les livres ont fait leur effet très tôt. À seize ans, il est arrivé deuxième à l'olympiade nationale de mathématiques, ce qui lui a permis d'entrer à l'université d'État de Moscou sans examen d'entrée. Il y a étudié de 1980 à 1985 sous la direction d'un corps professoral formidable, et surtout d'Israïl Gelfand. Il publiait à dix-neuf ans : « La croissance de l'algèbre de Lie générée par deux champs de vecteurs génériques » avec A. A. Kirillov en 1983, suivi de « Algèbres de croissance intermédiaire » avec Kirillov et A. I. Molev.

L'étudiant qui est parti

En 1985, il a quitté l'université d'État de Moscou sans diplôme et a rejoint l'Institut pour les problèmes de transmission de l'information de l'Académie des sciences, publiant sur l'algèbre de Virasoro et les structures connexes jusqu'en 1988. Il est intéressant de s'arrêter sur ce point : l'homme qui allait recevoir la médaille Fields a passé le début de sa vingtaine en tant que chercheur sans diplôme dans un institut soviétique de théorie de l'information. Il a visité l'Institut des hautes études scientifiques pour la première fois en 1988 et ne l'a jamais oublié.

Quatre problèmes

La thèse de Bonn, soutenue en 1992 sous la direction de Don Zagier, était intitulée « Théorie de l'intersection sur l'espace des modules des courbes et fonction d'Airy matricielle ». Elle démontrait la conjecture de Witten : que les nombres d'intersection de classes stables sur les espaces des modules compactifiés de courbes algébriques obéissent à la hiérarchie intégrable de Korteweg-de Vries — une affirmation reliant la géométrie des surfaces de Riemann aux mathématiques des ondes en eau peu profonde, ce qui ne pouvait pas être vrai. Le rapporteur Clifford Henry Taubes a noté que « beaucoup d'étapes de cette démonstration témoignent du talent unique de Kontsevich pour les calculs combinatoires ».

Il a ensuite réitéré l'exploit trois fois en cinq ans. Son article de 1993 sur les invariants de nœuds de Vassiliev a introduit ce qui est aujourd'hui l'intégrale de Kontsevich, un invariant universel des nœuds et des liens ; la rapporteuse Joan Birman a écrit qu'il avait « porté un regard très neuf et original » sur le sujet et avait rendu une théorie compliquée « à la fois naturelle et claire ». Il a prouvé que toute variété de Poisson admet une quantification par déformation formelle, fournissant des formules explicites dans le cas plat et réglant une question fondamentale de physique mathématique. Avec Yuri Manin, il a écrit « Classes de Gromov-Witten, cohomologie quantique et géométrie énumérative » en 1994, et a introduit l'espace des modules des applications stables qui a rendu possible le comptage rigoureux des courbes — le mécanisme derrière les théorèmes sur les courbes rationnelles dans les trois-variétés de Calabi-Yau qui se sont avérés décisifs pour la symétrie miroir. Il a également écrit « Géométrie symplectique formelle (non) commutative » et, plus tard, avec Alexei Belov-Kanel, a prouvé l'équivalence des conjectures de Dixmier et Jacobienne.

La symétrie miroir comme théorie des catégories

Lors du Congrès international des mathématiciens de 1994 à Zurich, il a proposé l'idée qui porte aujourd'hui son empreinte plus que toute autre : la symétrie miroir homologique. Les théoriciens des cordes avaient remarqué que les variétés de Calabi-Yau existent par paires miroirs dont les structures complexes et symplectiques semblent s'échanger. La conjecture de Kontsevich est qu'il s'agit d'une équivalence de catégories — que la catégorie dérivée des faisceaux cohérents sur X, un objet de géométrie algébrique pure, est équivalente à la catégorie de Fukaya dérivée de son miroir Y, un objet de géométrie symplectique pure. Cela a transformé une coïncidence observée par un physicien en une affirmation structurelle précise, et cela organise de grandes parties de la géométrie depuis lors.

Bures-sur-Yvette

Il est passé par Harvard, l'Institute for Advanced Study de Princeton, Rutgers, et a occupé une chaire à Berkeley au milieu des années 1990, puis a refusé de s'installer en Amérique malgré la présence de son frère. Il a obtenu une chaire permanente à l'IHES à Bures-sur-Yvette, l'institution qu'il admirait depuis 1988, et y est resté. Il occupe également une chaire distinguée à l'université de Miami, a acquis la nationalité française en 1999 et détient à la fois des passeports russe et français.

Les prix se sont accumulés : le prix Henri Poincaré en 1997 ; la médaille Fields au congrès de Berlin en 1998, cité pour ses travaux en géométrie algébrique et en topologie algébrique ; le prix Daniel Iagolnitzer ; le prix Crafoord en 2008, partagé avec Edward Witten, « pour leurs contributions importantes aux mathématiques inspirées par la physique théorique moderne » ; le prix Shaw en 2012 ; le prix Breakthrough en physique fondamentale la même année ; le prix Breakthrough en mathématiques en 2015 ; membre de l'Académie des sciences de Paris et associé étranger de l'Académie nationale des sciences des États-Unis.

Pourquoi Maxim est qualifié de génie

Deux capacités distinctes sont à l'œuvre, et elles sont rarement réunies. La première est une puissance de calcul brute d'un type très particulier — l'expression de Taubes, « talent unique pour les calculs combinatoires », est une évaluation technique, pas un compliment, et elle décrit le mécanisme qui a permis de démontrer la conjecture de Witten alors que personne d'autre ne le pouvait. La seconde est un instinct structurel pour ce que les physiciens disent réellement. Les théoriciens des cordes ont produit des affirmations éblouissantes et non rigoureuses tout au long des années 1980 et 1990 ; l'habitude de Kontsevich était de trouver l'objet mathématique dont ces affirmations traitaient secrètement, puis de l'énoncer sous une forme avec laquelle les mathématiciens pouvaient travailler. La symétrie miroir homologique en est l'exemple le plus pur : une coïncidence physique transformée en une équivalence catégorielle. L'observation de Birman selon laquelle il rend une théorie compliquée « à la fois naturelle et claire » souligne la même faculté sous un autre angle.

Le contre-argument honnête comporte trois parties. Une grande partie de la matière première n'était pas la sienne — Witten a conjecturé, Vassiliev a défini les invariants, les physiciens ont trouvé la symétrie miroir ; le rôle de Kontsevich a été de rendre les choses rigoureuses, ce qui est indispensable mais dérivé par construction. Deuxièmement, son idée unique la plus célèbre reste une conjecture : la symétrie miroir homologique n'est toujours pas prouvée dans le cas général plus de trente ans plus tard, et les conjectures sont bon marché par rapport aux théorèmes. Troisièmement, le « génie » est une monnaie qui circule librement en mathématiques, et les témoignages publics spécifiques sur Kontsevich tendent à louer la technique et l'originalité plutôt que d'utiliser ce mot. L'affirmation défendable est plus étroite et tout aussi extraordinaire : pendant environ une décennie, il a été le traducteur le plus fiable entre la physique théorique et les mathématiques rigoureuses que l'un ou l'autre domaine ait jamais connu.

Héritage

Des programmes de recherche entiers fonctionnent désormais sur ses définitions — les applications stables, l'intégrale de Kontsevich, la quantification par déformation, le cadre de la catégorie de Fukaya de la symétrie miroir. Il reste à l'IHES, travaille toujours, et la conjecture qu'il a lancée sur une scène zurichoise en 1994 continue de générer plus de mathématiques que la plupart des démonstrations achevées.