Giuseppe Peano : L'homme qui a fait dire aux mathématiques ce qu'elles signifiaient

En août 1900, au Congrès international de philosophie à Paris, Bertrand Russell a vu un petit professeur italien démolir ses adversaires les uns après les autres. « J'ai observé qu'il était toujours plus précis que quiconque », a écrit Russell plus tard, « et qu'il prenait invariablement le dessus dans tout argument dans lequel il s'engageait. » Russell est rentré chez lui avec une pile d'articles de Peano et s'est retiré à la campagne pour étudier tranquillement chaque mot écrit par lui ou ses disciples. La philosophie analytique moderne commence à peu près là.

La ferme de Spinetta

Peano est né le 27 août 1858 dans une ferme près de Coni dans le Piémont, alors dans le Royaume de Sardaigne. Ses parents étaient des travailleurs agricoles ; il a fréquenté l'école du village à Spinetta puis a marché cinq kilomètres par jour pour aller à l'école à Coni. L'échappatoire est venue par la famille. Son oncle maternel, prêtre et avocat à Turin, a vu ce dont le garçon était capable et l'a amené à la ville en 1870 pour une éducation secondaire appropriée au Liceo Cavour.

Il est entré à l'Université de Turin en 1876. D'Ovidio lui a enseigné la géométrie analytique et l'algèbre la première année, Angelo Genocchi lui a enseigné le calcul la deuxième, et dès la troisième année, il était le seul étudiant de la faculté à lire encore les mathématiques pures — tous les autres avaient transféré en ingénierie. Il a obtenu un doctorat le 29 septembre 1880, et l'université l'a gardé pour assister d'abord D'Ovidio puis Genocchi, qui occupait la chaire de calcul.

L'homme qui a trouvé les erreurs

Le trait distinctif de Peano s'est manifesté presque immédiatement. En 1882, en travaillant sur le texte de calcul standard de Serret, il a découvert que sa définition de l'aire d'une surface courbe était fausse. Il l'a apportée à Genocchi et a appris que Schwarz l'avait déjà remarquée — mais l'instinct était établi, et il ne l'a jamais quitté. Il passerait sa vie à lire le travail d'autres mathématiciens et à trouver l'endroit où le raisonnement échouait silencieusement.

Ce n'était pas un passe-temps. Lorsque Corrado Segre a défendu des déclarations vagues au motif que le moment de la découverte importait plus que la formulation rigoureuse, la réponse de Peano a été cinglante : « Je crois qu'il est nouveau dans l'histoire des mathématiques que des auteurs utilisent sciemment dans leurs recherches des propositions pour lesquelles des exceptions sont connues, ou pour lesquelles ils n'ont aucune preuve. » Il a démantelé les preuves d'Hermann Laurent et, en examinant un livre de Veronese, a conclu que ses erreurs et son manque de rigueur lui enlevaient toute valeur. Il s'est fait des ennemis à un rythme régulier.

Lorsque la santé de Genocchi a décliné, Peano a repris les cours de calcul, et le Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale de 1884 est paru sous le nom de Genocchi. Genocchi, honorablement, a publié un démenti public : tout, disait-il, était dû à « ce remarquable jeune homme, le Dr Giuseppe Peano ».

Deux bombes, 1889 et 1890

En 1889, Peano a publié Arithmetices principia, nova methodo exposita — Principes d'arithmétique, présentés par une nouvelle méthode. Il y a énoncé les axiomes qui portent encore son nom, l'axiomatisation standard des nombres naturels, dérivant toute l'arithmétique d'un point de départ, d'une opération de successeur et de l'induction. C'est à la fois un jalon dans l'histoire de la logique mathématique et dans les fondements des mathématiques. Il l'a écrit en latin, un acte qu'un historien qualifie de pur romantisme.

Un an plus tard est arrivée la courbe remplissant l'espace. Cantor avait montré que l'intervalle unité et le carré unité ont la même cardinalité ; Netto avait montré qu'aucune correspondance de ce type ne pouvait être bijective et continue en même temps. Peano a construit une courbe continue qui passe par chaque point du carré — abandonnant l'injectivité pour garder la continuité, et détruisant au passage toute intuition confortable sur ce qu'est une courbe et ce que signifie la dimension. Hausdorff l'a appelé l'un des faits les plus remarquables de la théorie des ensembles. À côté de ceux-ci se trouvent le théorème d'existence de Peano pour les équations différentielles, la mesure de Peano-Jordan et le théorème du noyau de Peano.

Il a été nommé professeur de première classe à l'Académie royale militaire en 1889, professeur extraordinaire de calcul infinitésimal à Turin en 1890, et professeur ordinaire en 1895.

Un langage pour les mathématiques

À partir de 1891, Peano a poursuivi le projet qui consommerait le reste de sa vie professionnelle : le Formulario Mathematico, une encyclopédie destinée à contenir toutes les formules et théorèmes connus des mathématiques, chacun énoncé dans une notation symbolique standard de sa propre invention. « Une telle collection », écrivait-il, « qui serait longue et difficile en langage ordinaire, est sensiblement facilitée par l'utilisation de la notation de la logique mathématique. »

La notation était la véritable réussite. Les symboles que les mathématiciens en activité utilisent tous les jours pour l'appartenance, l'union, l'intersection et l'existence descendent de Peano. L'édition finale de 1908 contenait 4 200 formules et théorèmes, tous entièrement énoncés et la plupart d'entre eux prouvés. Presque personne ne l'a lu.

Pourquoi Giuseppe est appelé un génie

La faculté spécifique est une sorte de clarté sémantique impitoyable : une capacité à regarder une phrase mathématique que tout le monde acceptait et à voir précisément quel mot faisait un travail non examiné — puis soit le corriger avec un nouveau symbole, soit le faire exploser avec un contre-exemple. La courbe remplissant l'espace et les axiomes de l'arithmétique sont le même talent pointé dans des directions opposées, l'un détruisant une fausse intuition, l'autre reconstruisant une fondation de sorte qu'aucune intuition n'est nécessaire du tout.

Le mot a été utilisé par des personnes dont le jugement compte. Russell a qualifié la notation de Peano d'« instrument d'analyse logique tel que j'en cherchais depuis des années. » Hausdorff a qualifié la courbe de l'un des faits les plus remarquables de la théorie des ensembles. Son biographe Kennedy l'a jugé l'un des grands scientifiques de son siècle.

Le contre-argument est inhabituellement clair, et les propres admirateurs de Peano le formulent. Son originalité est concentrée dans les années précédant 1900 ; après cela, il a déversé une énergie énorme dans deux projets — le Formulario et une langue artificielle — que la communauté mathématique n'a tout simplement pas utilisés. Il était si déterminé à enseigner ses symboles qu'il a négligé le calcul pour lequel il était payé, et l'Académie militaire l'a renvoyé en 1901 ; seule l'autonomie institutionnelle de Turin a sauvé son poste universitaire. Et bien que Peano ait fondé la logique mathématique en tant que pratique, c'est Gottlob Frege qui est généralement appelé son père. Le génie de Peano était réel, étroit, et en partie gaspillé par son propriétaire.

Le latin sans grammaire

En 1903, il a annoncé le Latino sine flexione — du latin dépouillé de flexion, avec un vocabulaire tiré du latin, de l'anglais, du français et de l'allemand, destiné à être une langue auxiliaire universelle pour la science. Le 3 janvier 1908, il a lu un article devant l'Académie des sciences de Turin qui commençait en latin ordinaire et, simplification après simplification, finissait dans la nouvelle langue. Il a été élu directeur de l'Academia pro Interlingua, qui a abandonné l'Idiom Neutral en sa faveur. Il a écrit le Formulario final dans cette langue, ce qui n'a rien fait pour aider son lectorat.

La dernière conférence

Il a épousé Carola Crosio, fille du peintre turinois Luigi Crosio, en 1887. Les honneurs se sont accumulés régulièrement — l'Académie des sciences de Turin en 1891, chevalier de l'ordre des Saints-Maurice-et-Lazare en 1901, membre correspondant de l'Accademia dei Lincei en 1905, commandeur de la Couronne d'Italie en 1921. Il a enseigné à Turin jusqu'au jour précédant sa mort, subissant une crise cardiaque fatale le 20 avril 1932, à l'âge de soixante-treize ans. Chaque étudiant qui écrit qu'un élément appartient à un ensemble utilise son écriture.