Carl Gustav Jacob Jacobi était un mathématicien allemand qui a apporté des contributions fondamentales aux fonctions elliptiques, à la dynamique, aux équations différentielles, aux déterminants et à la théorie des nombres.
Jacobi a été le premier mathématicien juif à être nommé professeur dans une université allemande.
Biographie
Jacobi est né de parents juifs ashkénazes à Potsdam le 10 décembre 1804. Il était le deuxième de quatre enfants du banquier Simon Jacobi. Son frère aîné Moritz von Jacobi deviendrait également connu plus tard en tant qu'ingénieur et physicien. Il a d'abord été scolarisé à domicile par son oncle Lehman, qui lui a enseigné les langues classiques et les éléments des mathématiques. En 1816, le jeune Jacobi de douze ans est allé au Gymnasium de Potsdam, où les étudiants ont appris tous les sujets standard : langues classiques, histoire, philologie, mathématiques, sciences, etc. En raison de la bonne éducation qu'il avait reçue de son oncle, ainsi que de ses propres capacités remarquables, après moins de six mois, Jacobi a été promu à la classe terminale malgré son jeune âge. Cependant, comme l'Université n'acceptait pas les étudiants de moins de 16 ans, il a dû rester dans la classe terminale jusqu'en 1821. Il a utilisé ce temps pour approfondir ses connaissances, montrant un intérêt pour tous les sujets, y compris le latin, le grec, la philologie, l'histoire et les mathématiques. Au cours de cette période, il a également fait ses premières tentatives de recherche, essayant de résoudre l'équation quintique par radicaux.
En 1821, Jacobi est allé étudier à l'Université de Berlin, où il a d'abord partagé son attention entre sa passion pour la philologie et les mathématiques. En philologie, il a participé aux séminaires de Böckh, attirant l'attention du professeur par son talent. Jacobi n'a pas suivi beaucoup de cours de mathématiques à l'Université, car le faible niveau des mathématiques à l'Université de Berlin à cette époque les rendait trop élémentaires pour lui. Cependant, il a continué à étudier en privé les ouvrages plus avancés d'Euler, Lagrange et Laplace. En 1823, il a compris qu'il devait prendre une décision entre ses intérêts concurrents et a choisi de consacrer toute son attention aux mathématiques. La même année, il est devenu qualifié pour enseigner à l'école secondaire et s'est vu offrir un poste au Gymnasium Joachimsthal à Berlin. Jacobi a décidé à la place de continuer à travailler vers un poste universitaire. En 1825, il a obtenu le titre de docteur en philosophie avec une thèse sur la décomposition en fractions partielles de fractions rationnelles, défendue devant une commission dirigée par Enno Dirksen. Il a immédiatement poursuivi avec son Habilitation et en même temps s'est converti au christianisme. Maintenant qualifié pour enseigner des cours universitaires, le jeune Jacobi, âgé de 21 ans, a donné des cours en 1825/26 sur la théorie des courbes et des surfaces à l'Université de Berlin.
En 1827, Jacobi est devenu professeur et en 1829, un professeur titulaire de mathématiques à l'Université de Königsberg, et a occupé la chaire jusqu'en 1842. Il a souffert d'une dépression due au surmenage en 1843. Il a ensuite visité l'Italie pendant quelques mois pour retrouver sa santé. À son retour, il s'est installé à Berlin, où il a vécu en tant que pensionné royal jusqu'à sa mort. Pendant la Révolution de 1848, Jacobi a été politiquement impliqué et a présenté sans succès sa candidature parlementaire au nom d'un club libéral. Cela a entraîné, après la suppression de la révolution, la réduction de sa pension royale – mais sa célébrité et sa réputation étaient telles qu'elle a bientôt été reprise. En 1836, il avait été élu membre étranger de l'Académie royale suédoise des sciences.
Jacobi est mort en 1851 d'une infection de la variole. Sa tombe est conservée au cimetière de la section de Kreuzberg à Berlin, le Friedhof I der Dreifaltigkeits-Kirchengemeinde 61 Baruther Street. Sa tombe est proche de celle de Johann Encke, l'astronome. Le cratère Jacobi sur la Lune porte son nom.
Contributions scientifiques
L'un des plus grands accomplissements de Jacobi a été sa théorie des fonctions elliptiques et leur relation à la fonction thêta elliptique. Cela a été développé dans son grand traité Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum 1829, et dans des articles ultérieurs du Journal de Crelle. Les fonctions thêta sont d'une grande importance en physique mathématique en raison de leur rôle dans le problème inverse pour les flux périodiques et quasi-périodiques. Les équations du mouvement sont intégrables en termes de fonctions elliptiques de Jacobi dans les cas bien connus du pendule, du sommet d'Euler, du sommet de Lagrange symétrique dans un champ gravitationnel et du problème de Kepler pour le mouvement planétaire dans un champ gravitationnel central.
Il a également apporté des contributions fondamentales à l'étude des équations différentielles et à la mécanique classique, notamment la théorie de Hamilton-Jacobi.
C'est dans le développement algébrique que la puissance particulière de Jacobi résidait principalement, et il a apporté des contributions importantes de ce type dans de nombreux domaines des mathématiques, comme le montre sa longue liste d'articles dans le Journal de Crelle et ailleurs à partir de 1826. On dit qu'il a dit à ses étudiants que lorsqu'on cherche un sujet de recherche, il faut « Inverser, toujours inverser » « man muss immer umkehren », reflétant sa conviction que l'inversion de résultats connus peut ouvrir de nouveaux domaines de recherche, par exemple l'inversion des intégrales elliptiques et la focalisation sur la nature des fonctions elliptiques et thêta.
Dans son article de 1835, Jacobi a prouvé le résultat fondamental suivant classifiant les fonctions périodiques y compris les fonctions elliptiques : Si une fonction univariée à valeur unique est multiplement périodique, alors une telle fonction ne peut pas avoir plus de deux périodes, et le rapport des périodes ne peut pas être un nombre réel. Il a découvert de nombreuses propriétés fondamentales des fonctions thêta, notamment l'équation fonctionnelle et la formule du triple produit de Jacobi, ainsi que de nombreux autres résultats sur les q-séries et les séries hypergéométriques.
La solution du problème d'inversion de Jacobi pour la carte d'Abel hyperelliptique par Weierstrass en 1854 a nécessité l'introduction de la fonction thêta hyperelliptique et plus tard la fonction thêta de Riemann générale pour les courbes algébriques de genre arbitraire. Le tore complexe associé à un genre g par le réseau de périodes est appelé variété jacobienne. Cette méthode d'inversion, et son extension ultérieure par Weierstrass et Riemann aux courbes algébriques arbitraires, peut être considérée comme une généralisation de genre supérieur de la relation entre les intégrales elliptiques et les fonctions elliptiques de Jacobi ou Weierstrass.
Jacobi a été le premier à appliquer les fonctions elliptiques à la théorie des nombres, par exemple en prouvant le théorème des deux carrés de Fermat et le théorème des quatre carrés de Lagrange, ainsi que des résultats similaires pour 6 et 8 carrés. Son autre travail en théorie des nombres a poursuivi le travail de C. F. Gauss : nouvelles preuves de la réciprocité quadratique et introduction du symbole de Jacobi ; contributions aux lois de réciprocité supérieure, investigations des fractions continues, et l'invention des sommes de Jacobi.
Il a également été l'un des premiers fondateurs de la théorie des déterminants. En particulier, il a inventé le déterminant jacobien formé à partir de n2 dérivées partielles de n fonctions données de n variables indépendantes, qui joue un rôle important dans les changements de variables dans les intégrales multiples, et dans de nombreuses investigations analytiques. En 1841, il a réintroduit la notation de dérivée partielle ∂ de Legendre, qui devait devenir standard.
Il a été l'un des premiers à introduire et étudier les polynômes symétriques maintenant connus sous le nom de polynômes de Schur, donnant la soi-disant formule bialternante pour ceux-ci, qui est un cas particulier de la formule des caractères de Weyl, et dérivant les identités de Jacobi-Trudi. Il a également découvert la formule de Desnanot-Jacobi pour les déterminants, qui sous-tendent les relations de Plucker pour les grassmanniennes.
Les étudiants des champs de vecteurs, de la théorie de Lie, de la mécanique hamiltonienne et des algèbres d'opérateurs rencontrent souvent l'identité de Jacobi, l'analogue de l'associativité pour l'opération du crochet de Lie.
La théorie planétaire et d'autres problèmes dynamiques particuliers ont également attiré son attention de temps à autre. Tout en contribuant à la mécanique céleste, il a introduit l'intégrale de Jacobi en 1836 pour un système de coordonnées sidéral. Sa théorie du dernier multiplicateur est traitée dans Vorlesungen über Dynamik, édité par Alfred Clebsch 1866.
Carl Gustav a laissé de nombreux manuscrits, dont certaines portions ont été publiées à intervalles dans le Journal de Crelle. Ses autres ouvrages incluent Commentatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem 1832, Canon arithmeticus 1839, et Opuscula mathematica 1846–1857. Ses Gesammelte Werke 1881–1891 ont été publiés par l'Académie de Berlin.
Fait amusant
Le nom de Carl Gustav est parfois écrit sous la forme Carolus Gustavus Iacobus Iacobi dans ses livres latins, et son prénom est parfois donné comme Karl.
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