Ce que contient le carnet
Le carnet perdu est dominé par les fonctions thêta « mock » (fausses fonctions thêta) : des objets mystérieux que Ramanujan a inventés au cours de ses derniers mois. Elles ressemblent aux fonctions thêta de l'analyse classique mais ne satisfont pas aux mêmes propriétés de transformation. Ramanujan les a identifiées dans une lettre à Hardy écrite quelques semaines avant sa mort. Pendant 70 ans, personne n'a compris de quoi il s'agissait. En 2002, Sander Zwegers a montré qu'il s'agissait de composantes de « formes harmoniques de Maass » : une structure profonde liée à la théorie des nombres moderne, à la théorie des cordes et au moonshine.
Congruences de partition
Le carnet contient également des résultats sur les congruences de partition : des modèles dans le nombre de façons dont les entiers peuvent être décomposés en sommes. Ramanujan avait remarqué que le nombre de partitions de 5n+4 est toujours divisible par 5, celui de 7n+5 par 7, et celui de 11n+6 par 11. Il n'en a fourni aucune preuve. Les démonstrations sont arrivées des décennies plus tard. L'explication la plus profonde — la fonction tau de Ramanujan et son lien avec les formes modulaires — a nécessité un siècle pour être pleinement comprise.
Comment a-t-il su ?
L'énigme centrale des travaux de Ramanujan réside dans la manière dont il a dérivé des résultats nécessitant des mécanismes mathématiques qui n'ont été inventés que des décennies après sa mort. Hardy pensait que Ramanujan avait développé sa propre théorie privée des formes modulaires — inconnue des mathématiciens occidentaux de l'époque — par une combinaison d'intuition, d'expérimentation numérique et d'instinct mathématique frôlant l'inexplicable.
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Qu'est-ce que le carnet perdu de Ramanujan ?
Le carnet perdu de Ramanujan est un recueil de 138 pages de formules mathématiques écrites par Ramanujan au cours de la dernière année de sa vie (1919-1920). Redécouvert en 1976, il contient environ 600 résultats, pour la plupart non prouvés, y compris des fonctions thêta « mock », des congruences de partition et des identités de fractions continues que les mathématiciens vérifient encore.
Que sont les fonctions thêta « mock » ?
Les fonctions thêta « mock » sont des fonctions mystérieuses inventées par Ramanujan durant ses derniers mois, décrites dans une lettre à Hardy quelques semaines avant sa mort. Pendant 70 ans, leur nature est restée floue. En 2002, Sander Zwegers a montré qu'il s'agissait de composantes de formes harmoniques de Maass, des objets ayant des liens profonds avec la théorie des nombres et la physique moderne.
Ramanujan a-t-il prouvé ses formules ?
Pour la plupart, non. Ramanujan énonçait des résultats avec assurance mais ne fournissait des preuves que pour une fraction d'entre eux. Il affirmait que ses formules lui venaient en rêve de la déesse Namagiri. Hardy a estimé que sur les quelque 3 900 résultats contenus dans les carnets de Ramanujan, environ les deux tiers étaient déjà connus ou pouvaient être prouvés ; le tiers restant était entièrement nouveau et nécessitait de nouvelles mathématiques pour être vérifié.