Le postulat des parallèles d'Euclide
Le postulat des parallèles stipule : étant donné une droite et un point extérieur à celle-ci, il existe exactement une droite passant par ce point et parallèle à la droite donnée. Cela semble évident. Mais contrairement aux autres postulats d'Euclide, ce n'est pas une nécessité évidente. Pendant 2 000 ans, les mathématiciens ont supposé qu'il pouvait être dérivé des autres. Ce n'est pas possible.
La géométrie hyperbolique de Lobatchevski
Lobatchevski (1829) et Bolyai (1832) ont montré indépendamment que si l'on suppose qu'une infinité de parallèles passent par un point, on obtient une géométrie cohérente — la géométrie hyperbolique. Dans l'espace hyperbolique, la somme des angles d'un triangle est inférieure à 180°, et la géométrie est à courbure négative (comme une selle de cheval).
L'extension de Riemann
Bernhard Riemann (1854) a généralisé davantage : il est aussi possible d'avoir zéro parallèle (géométrie sphérique, où les grands cercles se croisent toujours). Et la géométrie n'a pas besoin d'être plate, même en trois dimensions — l'espace lui-même peut se courber. C'est devenu le cadre mathématique qu'Einstein a utilisé pour la relativité générale 60 ans plus tard.
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Passer le test de QI →Rejet et réhabilitation
Lobatchevski a publié ses résultats en 1829 ; ils ont été ridiculisés et ignorés. Le père de Bolyai a envoyé le travail à Gauss, qui a répondu qu'il y avait pensé des années auparavant (probablement vrai, mais il n'a jamais publié). Lobatchevski est mort sans voir son travail reconnu. La réhabilitation est arrivée avec la généralisation de Riemann et finalement avec la confirmation d'Einstein que l'espace est réellement courbe.
Foire aux questions
Qu'est-ce que la géométrie non euclidienne ?
La géométrie non euclidienne est toute géométrie qui rejette le postulat des parallèles d'Euclide. Dans la géométrie hyperbolique (Lobatchevski, Bolyai), plusieurs parallèles passent par un point donné ; dans la géométrie sphérique (Riemann), aucune n'en passe. Toutes deux sont cohérentes et décrivent des espaces physiques réels.
Qui a inventé la géométrie non euclidienne ?
Nikolaï Lobatchevski (Russie, 1829) et János Bolyai (Hongrie, 1832) ont découvert indépendamment la géométrie hyperbolique non euclidienne. Gauss a plus tard prétendu l'avoir découverte indépendamment mais ne l'a jamais publiée. Riemann les a toutes généralisées en 1854.
Quel est le rapport entre la géométrie non euclidienne et Einstein ?
La relativité générale d'Einstein (1915) utilise la géométrie riemannienne pour décrire la gravité comme la courbure de l'espace-temps à quatre dimensions. Les objets massifs courbent la géométrie de l'espace ; ce que nous ressentons comme une attraction gravitationnelle est un mouvement le long de géodésiques courbes. Sans la géométrie non euclidienne, la relativité générale n'aurait pas de langage mathématique.