Pál Turán: Teoremas desde un campo de trabajo

En julio de 1944, un judío húngaro en trabajos forzados empujaba vagonetas de ladrillos sobre rieles en una fábrica cerca de Budapest. Donde las vías se cruzaban, las vagonetas se sacudían y el trabajo se volvía más difícil. La mayoría de los hombres habrían maldecido los cruces. Turán comenzó a preguntarse cuál era el número mínimo posible de cruces para m hornos y n almacenes, y al hacerlo planteó lo que ahora se llama el problema de la fábrica de ladrillos de Turán, una de las preguntas fundacionales de la teoría de números de cruce. Era un prisionero. También estaba, en ese momento, haciendo matemáticas.

Budapest, Fejér y una puerta cerrada

Turán nació el 18 de agosto de 1910 en Budapest, entonces Austria-Hungría, en una familia judía húngara. Su talento se manifestó en la escuela secundaria. Obtuvo su título de profesor en la Universidad de Budapest en 1933 y su doctorado en 1935 en la Universidad Eötvös Loránd bajo la dirección de Lipót Fejér, la figura central del análisis húngaro.

Publicó dos artículos significativos en 1933 en las revistas de las Sociedades Matemáticas de Estados Unidos y Londres. No supuso ninguna diferencia para su empleabilidad. Las leyes de numerus clausus de Hungría, que restringían la participación judía en la educación superior, lo mantuvieron fuera de un trabajo académico estable durante años, y el puesto que finalmente consiguió en 1938 fue en una escuela de formación rabínica en Budapest. He aquí un matemático publicando internacionalmente a los veintitrés años y enseñando en un seminario a los veintiocho porque el Estado lo había excluido legalmente de la universidad.

Conociendo a Erdős

El 1 de septiembre de 1930, en un seminario de matemáticas en la Universidad de Budapest, Turán conoció a Paul Erdős. Ambos habían sido destacados resolutores en la revista de problemas KöMaL cuando eran escolares. La colaboración que comenzó ese día duró cuarenta y seis años y produjo veintiocho artículos conjuntos: una de las grandes asociaciones sostenidas en las matemáticas del siglo XX, y la fuente de gran parte de lo que sabemos sobre el carácter de Turán, porque Erdős escribió extensamente sobre él y no lo halagó.

Cinco años en los campos

En septiembre de 1940, Turán fue arrestado debido a su herencia judía y enviado a campos de trabajo. Pasó cinco años en varios campos a través de Transilvania y Hungría.

El período debería haber sido un vacío en su bibliografía. No lo fue. Un oficial llamado Joshef Winkler, formado en matemáticas, reconoció el nombre de Turán y organizó tareas más ligeras para él. Turán utilizó el margen que esto le proporcionó. Compuso un artículo importante sobre la función zeta de Riemann mientras estaba internado, y se mantuvo íntegro resolviendo problemas en su cabeza y reflexionando sobre ellos. La observación de la fábrica de ladrillos surgió en julio de 1944; la retomó seriamente solo después de 1952, pero la pregunta nació en los rieles.

Erdős lo expresó claramente: Turán "no perdió el ánimo ni siquiera en los campos nazis e hizo un trabajo brillante allí". Fue liberado en 1944 y regresó a la enseñanza.

Teoría extremal de grafos

Lo más trascendental que construyó Turán, lo construyó mientras estaba encarcelado. Erdős de nuevo: "En 1940-1941 creó el área de problemas extremales en la teoría de grafos, que es ahora uno de los temas de más rápido crecimiento en combinatoria".

El resultado fundacional, el teorema de Turán, da un límite superior al número de aristas que puede tener un grafo sin contener un subgrafo completo en r vértices. Para probarlo, inventó el grafo de Turán, una generalización de los grafos bipartitos completos. La importancia del teorema no es el límite específico, sino la forma de pregunta que estableció: ¿cuánta estructura puedes tener antes de que se fuerce la aparición de algún patrón? Esa pregunta, planteada en miles de entornos desde entonces, es lo que es la combinatoria extremal. El teorema de Kővári–Sós–Turán extendió el enfoque a grafos bipartitos con subgrafos prohibidos.

La criba y la suma de potencias

La teoría de números fue su campo principal. La criba de Turán, de 1934, dio una prueba simplificada de un resultado de 1917 de Hardy y Ramanujan sobre el orden normal del número de divisores primos distintos. Halász identificó su significado real: "Su verdadero significado radica en el hecho de que fue el punto de partida de la teoría probabilística de números". Una simplificación que funda una disciplina no es una simplificación. La desigualdad de Turán-Kubilius generalizó el trabajo.

Acuñó el término "carrera de números primos" para las irregularidades en cómo se distribuyen los primos a través de las clases de residuos, trabajando con Knapowski en resultados relacionados con el sesgo de Chebyshev. La conjetura de Erdős-Turán concierne a los primos en progresión aritmética. Y desarrolló el método de la suma de potencias, una técnica para desigualdades sobre sumas de potencias de los ceros de la función zeta de Riemann, con aplicaciones que llegan al análisis complejo, análisis numérico, ecuaciones diferenciales, teoría de números trascendentales y la estimación de ceros en general.

Sobre la hipótesis misma, Erdős registró que Turán era "un 'incrédulo', de hecho, un 'pagano': no creía en la verdad de la hipótesis de Riemann". Su análisis produjo las desigualdades de Turán sobre polinomios de Legendre y, con Erdős, la desigualdad de equidistribución de Erdős-Turán.

Un diagnóstico mantenido en secreto

Se convirtió en profesor asociado en la Universidad de Budapest en 1945 y profesor titular en 1949. El Premio Kossuth llegó en 1948 y de nuevo en 1952; fue elegido miembro correspondiente de la Academia Húngara de Ciencias en 1948 y miembro ordinario en 1953. Fundó y presidió la Sociedad Matemática János Bolyai, formó parte de los consejos editoriales de revistas líderes, habló en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1970 y fue invitado al comité del Premio Fields ese año. El Premio Tibor Szele siguió en 1975.

Se casó con Edit Kóbor en 1939, con quien tuvo un hijo, Róbert; en 1952 se casó con la matemática Vera Sós, con quien publicó conjuntamente y tuvo dos hijos, György y Tamás.

Alrededor de 1970 le diagnosticaron leucemia. Solo Vera lo sabía. Ella decidió no decírselo, creyendo que él estaba "demasiado enamorado de la vida" y se habría desesperado. Solo se lo contó a Erdős en 1976. Erdős lamentó más tarde el costo: al no saber que le quedaba poco tiempo, Turán pospuso ciertos trabajos "para más tarde" y nunca los completó.

Por qué Pál es llamado un genio

La facultad específica es la creación de problemas al nivel de disciplinas enteras. Los teoremas individuales de Turán son fuertes, pero su sello distintivo es que tres áreas separadas trazan su origen hasta él: la teoría extremal de grafos, que Erdős le atribuye explícitamente haber creado en 1940-41; la teoría probabilística de números, que Halász dice que comenzó con su criba de 1934; y la teoría de números de cruce, que comenzó con ladrillos. Fundar un campo es una carrera. Fundar tres es otra cosa: un instinto inusual para la pregunta subyacente a la pregunta, cuya forma general es una instancia de una dificultad específica.

Las circunstancias agudizan la afirmación en lugar de simplemente decorarla. Creó la teoría extremal de grafos en un campo de trabajo, sin biblioteca, sin colegas y sin papel, manteniendo las estructuras en su cabeza. Erdős, que no era sentimental sobre la capacidad matemática y conocía a todos los que valía la pena conocer, dijo que hizo un trabajo brillante allí.

El contraargumento es más débil de lo habitual pero real. Erdős fue su amigo más cercano durante cuarenta y seis años y su evaluador más citado, lo cual no es una fuente independiente. El método de la suma de potencias de Turán, a pesar de todo su alcance, no descifró la hipótesis de Riemann en la que no creía. Sus honores (dos premios Kossuth, el premio Szele, la membresía en la academia) son reconocimientos nacionales húngaros en lugar de los principales premios internacionales de la disciplina. Y el crecimiento explosivo de la teoría extremal de grafos debe mucho a quienes la desarrollaron después de él. Él planteó la pregunta; otros construyeron el tema.

Legado

Turán murió de leucemia en Budapest el 26 de septiembre de 1976, a los sesenta y seis años, todavía sin saber qué lo estaba matando. Cada curso de combinatoria enseña ahora su teorema, y la teoría probabilística de números data su fundación a una criba que ideó a los veinticuatro años. El problema de la fábrica de ladrillos sigue abierto en general. Es un monumento apropiado: una pregunta planteada por un prisionero observando cruces de rieles, que la disciplina aún no ha terminado de responder.