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Omar Khayyam fue un matemático, astrónomo, filósofo y poeta persa. Nació en Nishabur, en el noreste de Irán, y pasó la mayor parte de su vida cerca de la corte de los gobernantes Karajanida y Selyúcida en el período que presenció la Primera Cruzada.
Como matemático, es más notable por su trabajo en la clasificación y solución de ecuaciones cúbicas, donde proporcionó soluciones geométricas mediante la intersección de cónicas. Khayyam también contribuyó a la comprensión del axioma de las paralelas. Como astrónomo, diseñó el calendario Jalali, un calendario solar con un ciclo de intercalación de 33 años muy preciso.
Existe una tradición de atribuir poesía a Omar Khayyam, escrita en forma de cuartetas. Esta poesía se hizo ampliamente conocida en el mundo de habla inglesa en una traducción de Edward FitzGerald (Rubaiyat de Omar Khayyam, 1859), que gozó de gran éxito en el Orientalismo del fin de siglo.
Vida
Omar Khayyam nació en 1048 en Nishapur, una metrópolis importante en Jorasán durante la Edad Media que alcanzó su apogeo de prosperidad en el siglo XI bajo la dinastía Selyúcida. Nishapur fue también un centro importante de la religión zoroástrica, y es probable que el padre de Khayyam fuera un zoroástrico que se convirtió al islam. Su nombre completo, tal como aparece en las fuentes árabes, era Abu'l Fath Omar ibn Ibrahim al-Khayyam. En textos medievales persas generalmente se lo llama simplemente Omar Khayyam. Aunque está abierto a dudas, a menudo se ha asumido que sus antepasados seguían el oficio de fabricación de tiendas de campaña, ya que Khayyam significa fabricante de tiendas en árabe. El historiador Bayhaqi, quien conocía personalmente a Omar, proporciona todos los detalles de su horóscopo: "era Géminis, con el sol y Mercurio en ascendente. Esto fue utilizado por eruditos modernos para establecer su fecha de nacimiento como 18 de mayo de 1048.
Su infancia transcurrió en Nishapur. Sus dones fueron reconocidos por sus primeros tutores quienes lo enviaron a estudiar bajo Imam Muwaffaq Nishaburi, el mayor maestro de la región de Jorasán quien tutorizó a los hijos de la nobleza más alta. Khayyam también fue enseñado por el matemático convertido al zoroastrismo, Abu Hassan Bahmanyar bin Marzban. Después de estudiar ciencia, filosofía, matemáticas y astronomía en Nishapur, alrededor del año 1068 viajó a la provincia de Bujará, donde frecuentó la famosa biblioteca del Arca. Alrededor de 1070 se trasladó a Samarcanda, donde comenzó a componer su famoso tratado sobre álgebra bajo el patrocinio de Abu Tahir Abd al-Rahman ibn ʿAlaq, gobernador y juez principal de la ciudad. Omar Khayyam fue recibido amablemente por el gobernante Karajanida Shams al-Mulk Nasr, quien según Bayhaqi, "le mostraría el mayor honor, tanto que lo sentaría [a Omar] junto a él en su trono".
En 1073–4 se concluyó la paz con el Sultán Malik-Shah I quien había hecho incursiones en los dominios Karajanida. Khayyam entró al servicio de Malik-Shah en 1074–5 cuando fue invitado por el Gran Visir Nizam al-Mulk a reunirse con Malik-Shah en la ciudad de Merv. Posteriormente, a Khayyam se le encargó establecer un observatorio en Ispahán y liderar un grupo de científicos para llevar a cabo observaciones astronómicas precisas dirigidas a la revisión del calendario persa. La empresa comenzó probablemente en 1076 y terminó en 1079 cuando Omar Khayyam y sus colegas concluyeron sus mediciones de la longitud del año, reportándola a 14 cifras significativas con precisión asombrosa.
Después de la muerte de Malik-Shah y su visir (asesinado, se cree, por la orden Ismaelita de los Asesinos), Omar cayó en desgracia en la corte, y como resultado, pronto se embarcó en su peregrinaje a La Meca. Un posible motivo ulterior para su peregrinaje reportado por Al-Qifti, fue una demostración pública de su fe con el objetivo de calmar las sospechas de escepticismo y refutar las acusaciones de heterodoxia (incluyendo posible simpatía al zoroastrismo) lanzadas contra él por un clero hostil. Luego fue invitado por el nuevo Sultán Sanjar a Merv, posiblemente para trabajar como astrólogo de la corte. Posteriormente se le permitió regresar a Nishapur debido a su salud deteriorada. Después de su regreso, parece haber vivido la vida de un ermitaño.
Omar Khayyam murió a la edad de 83 años en su ciudad natal de Nishapur el 4 de diciembre de 1131, y está enterrado en lo que ahora es el Mausoleo de Omar Khayyam. Uno de sus discípulos Nizami Aruzi relata la historia de que en algún momento durante 1112–3 Khayyam estaba en Balkh en compañía de Al-Isfizari (uno de los científicos que habían colaborado con él en el calendario Jalali) cuando hizo una profecía de que "mi tumba estará en un lugar donde el viento del norte pueda esparcir rosas sobre ella". Cuatro años después de su muerte, Aruzi localizó su tumba en un cementerio en lo que entonces era un barrio grande y bien conocido de Nishapur en el camino a Merv. Como había sido predicho por Khayyam, Aruzi encontró la tumba situada al pie de un muro de jardín sobre el cual árboles de peras y duraznos habían asomado sus cabezas y dejado caer sus flores de modo que su lápida quedaba oculta bajo ellas.
Matemáticas
Khayyam fue famoso durante su vida como matemático. Sus obras matemáticas supervivientes incluyen: Un comentario sobre las dificultades relacionadas con los postulados de los Elementos de Euclides (Risāla fī šarḥ mā aškala min muṣādarāt kitāb Uqlīdis, completado en diciembre de 1077), Sobre la división de un cuadrante de un círculo (Risālah fī qismah rub' al-dā'irah, sin fecha pero completado antes del tratado sobre álgebra), y Sobre demostraciones de problemas relacionados con el Álgebra (Maqāla fi l-jabr wa l-muqābala, muy probablemente completado en 1079. Además escribió un tratado sobre la extracción del teorema binomial y la raíz n-ésima de números naturales, que se ha perdido.
Teoría de paralelas
Una parte del comentario de Khayyam sobre los Elementos de Euclides trata con el axioma de las paralelas. El tratado de Khayyam puede considerarse el primer tratamiento del axioma que no se basa en petitio principii, sino en un postulado más intuitivo. Khayyam refuta los intentos previos de otros matemáticos para demostrar la proposición, principalmente sobre la base de que cada uno de ellos había postulado algo que de ninguna manera era más fácil de admitir que el Quinto Postulado en sí. Apoyándose en los puntos de vista de Aristóteles, rechaza el uso del movimiento en geometría y por lo tanto descarta el intento diferente de Al-Haytham. Insatisfecho con el fracaso de los matemáticos para demostrar la afirmación de Euclides a partir de sus otros postulados, Omar intentó conectar el axioma con el Cuarto Postulado, que establece que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
Khayyam fue el primero en considerar los tres casos de ángulos agudos, obtusos y rectos para los ángulos de vértice de un cuadrilátero Khayyam-Saccheri, tres casos que son exhaustivos y mutuamente excluyentes por parejas. Después de demostrar varios teoremas sobre ellos, probó que el Postulado V es una consecuencia de la hipótesis del ángulo recto, y refutó los casos obtuso y agudo como autocontradictorio. El intento elaborado de Khayyam para demostrar el postulado de las paralelas fue significativo para el desarrollo posterior de la geometría, ya que demuestra claramente la posibilidad de geometrías no euclidianas. Las hipótesis del ángulo agudo, obtuso y recto ahora se sabe que conducen respectivamente a la geometría hiperbólica no euclidiana de Gauss-Bolyai-Lobachevsky, a la geometría de Riemann, y a la geometría euclidiana.
Los comentarios de Tusi sobre el tratamiento de Khayyam de las paralelas llegaron a Europa. John Wallis, profesor de geometría en Oxford, tradujo el comentario de Tusi al latín. El geómetra jesuita Girolamo Saccheri, cuyo trabajo (euclides ab omni naevo vindicatus, 1733) es generalmente considerado como el primer paso en el eventual desarrollo de la geometría no euclidiana, estaba familiarizado con el trabajo de Wallis. El historiador estadounidense de las matemáticas, David Eugene Smith, menciona que Saccheri "utilizó el mismo lema que el de Tusi, incluso letreando la figura de exactamente la misma manera y utilizando el lema para el mismo propósito". Además dice que "Tusi declara claramente que es debido a Omar Khayyam, y del texto, parece claro que este último fue su inspirador".
El concepto de número real
Este tratado sobre Euclides contiene otra contribución que trata de la teoría de proporciones y del compuesto de razones. Khayyam discute la relación entre el concepto de razón y el concepto de número y explícitamente plantea varias dificultades teóricas. En particular, contribuye al estudio teórico del concepto de número irracional. Descontento con la definición de Euclides de razones iguales, redefinió el concepto de número por el uso de una fracción continua como medio para expresar una razón. Rosenfeld y Youschkevitch (1973) argumentan que "al colocar cantidades irracionales y números en la misma escala operacional, [Khayyam] comenzó una verdadera revolución en la doctrina del número". Asimismo, fue observado por D. J. Struik que Omar estaba "en el camino hacia esa extensión del concepto de número que conduce a la noción de número real".
Álgebra geométrica
Rashed y Vahabzadeh (2000) han argumentado que debido a su enfoque geométrico exhaustivo de ecuaciones algebraicas, Khayyam puede ser considerado el precursor de Descartes en la invención de la geometría analítica. En El Tratado sobre la División de un Cuadrante de un Círculo, Khayyam aplicó el álgebra a la geometría. En esta obra, se dedicó principalmente a investigar si es posible dividir un cuadrante circular en dos partes de modo que los segmentos de línea proyectados desde el punto de división a los diámetros perpendiculares del círculo formen una razón específica. Su solución, a su vez, empleó varias construcciones de curvas que condujeron a ecuaciones que contienen términos cúbicos y cuadráticos.
La solución de ecuaciones cúbicas
Khayyam parece haber sido el primero en concebir una teoría general de ecuaciones cúbicas y el primero en resolver geométricamente cada tipo de ecuación cúbica, en lo que respecta a raíces positivas. El tratado sobre álgebra contiene su trabajo en ecuaciones cúbicas. Se divide en tres partes: (i) ecuaciones que se pueden resolver con compás y regla, (ii) ecuaciones que se pueden resolver por medio de secciones cónicas, y (iii) ecuaciones que involucran la inversa de la incógnita.
Khayyam produjo una lista exhaustiva de todas las posibles ecuaciones que involucran líneas, cuadrados y cubos. Consideró tres ecuaciones binomiales, nueve ecuaciones trinomiales y siete ecuaciones tetranomiales. Para polinomios de primer y segundo grado, proporcionó soluciones numéricas mediante construcción geométrica. Concluyó que hay catorce tipos diferentes de cúbicas que no se pueden reducir a una ecuación de menor grado. Para estas no pudo lograr la construcción de su segmento desconocido con compás y regla. Procedió a presentar soluciones geométricas a todos los tipos de ecuaciones cúbicas usando las propiedades de secciones cónicas. Los lemas de requisito previo para la demostración geométrica de Khayyam incluyen Euclides VI, Prop 13, y Apolonio II, Prop. La raíz positiva de una ecuación cúbica se determinó como la abscisa de un punto de intersección de dos cónicas, por ejemplo, la intersección de dos parábolas, o la intersección de una parábola y un círculo, etc. Sin embargo, reconoció que el problema aritmético de estas cúbicas aún no estaba resuelto, añadiendo que "posiblemente alguien más llegará a conocerlo después de nosotros". Esta tarea permaneció abierta hasta el siglo XVI, donde la solución algebraica de la ecuación cúbica fue encontrada en su generalidad por Cardano, Del Ferro y Tartaglia en el Renacimiento italiano.
En efecto, el trabajo de Khayyam es un esfuerzo por unificar el álgebra y la geometría. Esta solución geométrica particular de ecuaciones cúbicas ha sido investigada posteriormente por M. Hachtroudi y extendida para resolver ecuaciones de cuarto grado. Aunque métodos similares habían aparecido esporádicamente desde Menecmo, y fueron desarrollados posteriormente por el matemático del siglo X Abu al-Jud, el trabajo de Khayyam puede ser considerado el primer estudio sistemático y el primer método exacto de resolver ecuaciones cúbicas. El matemático Woepcke (1851) quien ofreció traducciones del álgebra de Khayyam al francés lo elogió por su "poder de generalización y su procedimiento rigurosamente sistemático".
Teorema binomial y extracción de raíces
En su tratado algebraico, Khayyam alude a un libro que había escrito sobre la extracción de la n-ésima raíz, donde n es un entero positivo. El caso de potencia 2 se establece explícitamente en los elementos de Euclides y el caso de potencia como máximo 3 había sido establecido por matemáticos indios. Khayyam fue el matemático quien notó la importancia de un teorema binomial general. El argumento que apoya la afirmación de que Khayyam tenía un teorema binomial general se basa en su capacidad para extraer raíces. Uno de los predecesores de Khayyam, Al-Karaji, ya había descubierto el arreglo triangular de los coeficientes de expansiones binomiales que los europeos más tarde llegaron a conocer como el triángulo de Pascal; Khayyam popularizó este arreglo triangular en Irán, de modo que ahora se conoce como el triángulo de Omar Khayyam.
Astronomía
En 1074–5, Omar Khayyam fue encargado por el Sultán Malik-Shah de construir un observatorio en Ispahán y reformar el calendario persa. Había un panel de ocho eruditos trabajando bajo la dirección de Khayyam para realizar observaciones astronómicas a gran escala y revisar la astrología
