Maxim Kontsevich: El matemático que dotó de rigor a la física

En 1990, un investigador soviético de 25 años sin título universitario asistió a una conferencia en Bonn para escuchar a Michael Atiyah —"un eminente matemático británico que habló de cosas maravillosas", como dijo más tarde— describir una extravagante conjetura de Edward Witten sobre la geometría de las curvas. Pocos días después, en una excursión en barco por el Rin, Kontsevich explicaba a sus colegas cómo pretendía demostrarla. Fue invitado a volver a Bonn durante un año completo. Dos años después, la demostración fue su tesis doctoral.

Jimki, coreano y una Olimpiada

Nació el 25 de agosto de 1964 en Jimki, a las afueras de Moscú, en una familia de gran erudición académica. Su padre, Lev Rafailovich Kontsevich, fue un destacado especialista en coreano del Instituto de Estudios Orientales de la Academia de Ciencias de Rusia y autor del sistema Kontsevich, que sigue siendo el método estándar para transliterar el coreano al cirílico. Su madre era ingeniera; su hermano mayor, Leonid, se dedicó a la investigación en imágenes por ordenador en San Francisco. Kontsevich atribuye a su hermano, y a "algunos libros muy buenos", el haberle orientado hacia las matemáticas y la física.

Los libros hicieron su trabajo pronto. A los dieciséis años quedó segundo en la Olimpiada Matemática nacional, lo que le valió el ingreso en la Universidad Estatal de Moscú sin exámenes de acceso. Estudió allí de 1980 a 1985 bajo un profesorado formidable, sobre todo Israil Gelfand. Publicaba a los diecinueve años: "El crecimiento del álgebra de Lie generada por dos campos vectoriales genéricos" con A. A. Kirillov en 1983, seguido de "Álgebras de crecimiento intermedio" con Kirillov y A. I. Molev.

El estudiante que se marchó

En 1985 abandonó la Universidad Estatal de Moscú sin obtener el título y se incorporó al Instituto de Problemas de Transmisión de Información de la Academia de Ciencias, publicando sobre el álgebra de Virasoro y estructuras relacionadas hasta 1988. Merece la pena detenerse en esto: el hombre que ganaría la Medalla Fields pasó sus veinte años como investigador sin título en un instituto soviético de teoría de la información. Visitó por primera vez el Institut des Hautes Études Scientifiques en 1988 y nunca lo olvidó.

Cuatro problemas

La tesis de Bonn, presentada en 1992 bajo la supervisión de Don Zagier, se titulaba "Teoría de la intersección en el espacio de módulos de curvas y la función de Airy matricial". Demostró la conjetura de Witten: que los números de intersección de clases estables en espacios de módulos compactificados de curvas algebraicas obedecen a la jerarquía integrable de Korteweg-de Vries, una afirmación que vincula la geometría de las superficies de Riemann con las matemáticas de las ondas en aguas poco profundas, que no tenía sentido que fuera cierta. El revisor Clifford Henry Taubes señaló que "muchos de los pasos de esta prueba muestran el talento único de Kontsevich para los cálculos combinatorios".

Después lo hizo tres veces más en cinco años. Su artículo de 1993 sobre los invariantes de nudos de Vassiliev introdujo lo que ahora es la integral de Kontsevich, un invariante universal de nudos y enlaces; la revisora Joan Birman escribió que había "echado una mirada muy fresca y original" al tema y había hecho que una teoría complicada "pareciera natural y clara". Demostró que toda variedad de Poisson admite una cuantización de deformación formal, proporcionando fórmulas explícitas en el caso plano y resolviendo una cuestión fundamental en física matemática. Con Yuri Manin escribió "Clases de Gromov-Witten, cohomología cuántica y geometría enumerativa" en 1994, e introdujo el espacio de módulos de mapas estables que hizo posible el conteo riguroso de curvas, el mecanismo detrás de los teoremas sobre curvas racionales en tres variedades de Calabi-Yau que resultaron decisivos para la simetría especular. También escribió "Geometría simpléctica formal (no) conmutativa" y, más tarde, con Alexei Belov-Kanel, demostró la equivalencia de las conjeturas de Dixmier y Jacobian.

La simetría especular como teoría de categorías

En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1994 en Zúrich, propuso la idea que hoy lleva su sello más que ninguna otra: la simetría especular homológica. Los teóricos de cuerdas habían observado que las variedades de Calabi-Yau vienen en pares especulares cuyas estructuras complejas y simplécticas parecen intercambiarse. La conjetura de Kontsevich es que se trata de una equivalencia de categorías: que la categoría derivada de haces coherentes sobre X, un objeto de geometría algebraica pura, es equivalente a la categoría de Fukaya derivada de su espejo Y, un objeto de geometría simpléctica pura. Convirtió una coincidencia observada por los físicos en una afirmación estructural precisa, y desde entonces ha organizado gran parte de la geometría.

Bures-sur-Yvette

Pasó por Harvard, el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Rutgers y una cátedra en Berkeley a mediados de los años 90, para luego declinar instalarse en Estados Unidos a pesar de que su hermano estaba allí. Obtuvo una cátedra permanente en el IHES en Bures-sur-Yvette, la institución que admiraba desde 1988, y se ha quedado. También ocupa una cátedra distinguida en la Universidad de Miami, obtuvo la nacionalidad francesa en 1999 y posee pasaportes ruso y francés.

Los premios se acumularon: el Premio Henri Poincaré en 1997; la Medalla Fields en el Congreso de Berlín de 1998, citado por sus trabajos en geometría algebraica y topología algebraica; el Premio Daniel Iagolnitzer; el Premio Crafoord en 2008, compartido con Edward Witten, "por sus importantes contribuciones a las matemáticas inspiradas en la física teórica moderna"; el Premio Shaw en 2012; el Premio Breakthrough en Física Fundamental ese mismo año; el Premio Breakthrough en Matemáticas en 2015; miembro de la Academia de Ciencias de París y asociado extranjero de la Academia Nacional de Ciencias de EE. UU.

Por qué llaman genio a Maxim

Existen dos capacidades distintas, y rara vez se encuentran juntas. La primera es una fuerza de cálculo bruta de un tipo muy particular: la frase de Taubes, "talento único para los cálculos combinatorios", es una evaluación técnica, no un cumplido, y describe el mecanismo que permitió demostrar la conjetura de Witten cuando nadie más pudo. La segunda es un instinto estructural para saber qué dicen realmente los físicos. Los teóricos de cuerdas produjeron afirmaciones deslumbrantes y no rigurosas a lo largo de los años 80 y 90; la costumbre de Kontsevich era encontrar el objeto matemático sobre el que trataban secretamente esas afirmaciones, y luego expresarlo en una forma con la que los matemáticos pudieran trabajar. La simetría especular homológica es el ejemplo más puro: una coincidencia física convertida en una equivalencia categórica. La observación de Birman de que hace que una teoría complicada "parezca natural y clara" señala la misma facultad desde otro ángulo.

El contraargumento honesto tiene tres partes. Gran parte de la materia prima no era suya: Witten conjeturó, Vassiliev definió los invariantes, los físicos descubrieron la simetría especular; el papel de Kontsevich fue dar rigor a las cosas, lo cual es indispensable pero derivativo por construcción. En segundo lugar, su idea individual más celebrada sigue siendo una conjetura: la simetría especular homológica no ha sido demostrada en términos generales más de treinta años después, y las conjeturas son baratas frente a los teoremas. En tercer lugar, "genio" es una moneda que circula libremente en matemáticas, y los testimonios públicos específicos sobre Kontsevich tienden a elogiar la técnica y la originalidad en lugar de recurrir a la palabra. La afirmación defendible es más estrecha y aun así extraordinaria: durante aproximadamente una década fue el traductor más fiable entre la física teórica y las matemáticas rigurosas que tuvo cualquiera de los dos campos.

Legado

Programas de investigación enteros se basan ahora en sus definiciones: mapas estables, la integral de Kontsevich, la cuantización de deformación, el marco de la categoría de Fukaya de la simetría especular. Sigue en el IHES, trabajando aún, y la conjetura que lanzó en un escenario de Zúrich en 1994 sigue generando más matemáticas que la mayoría de las demostraciones completadas.