Leopold Kronecker: Dios creó los números enteros

"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk" — Dios creó los números enteros, todo lo demás es obra del hombre. Heinrich Weber registró la frase, y ha sobrevivido a casi todo lo que su autor dijo, porque no es una digresión piadosa, sino una declaración de guerra. El hombre que la pronunció pasó sus últimas décadas intentando despojar a las matemáticas modernas de los objetos infinitos que sus colegas se afanaban en inventar, y se ganó suficientes enemigos haciendo esto como para que uno de los mejores analistas de Europa casi dejara Berlín para alejarse de él.

Liegnitz y un profesor llamado Kummer

Leopold Kronecker nació el 7 de diciembre de 1823 en Liegnitz, Prusia —actual Legnica, Polonia— en una familia judía adinerada. Sus padres, Isidor y Johanna, de soltera Prausnitzer, contrataron tutores privados en casa antes de enviarlo al Gimnasio de Liegnitz, donde se dedicó a la ciencia, la historia y la filosofía, y practicó natación y gimnasia con el mismo entusiasmo. Su hermano menor, Hugo, se convirtió en un distinguido fisiólogo. En el Gimnasio, su profesor de matemáticas fue Ernst Kummer, quien detectó su talento y lo impulsó; una relación que definiría el resto de la vida de Kronecker, ya que las carreras de ambos hombres convergieron constantemente.

Se matriculó en la Universidad de Berlín en 1841, indeciso entre la astronomía, la filosofía y las matemáticas; pasó el verano de 1843 estudiando astronomía en Bonn, luego siguió a Kummer a Breslavia en 1843-1844 antes de regresar a Berlín, donde en 1845 defendió una tesis en teoría algebraica de números bajo la dirección de Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

El hombre de negocios que hacía matemáticas

Lo que hizo después fue inusual para un hombre de sus dotes: nada académico. Regresó a casa para administrar una gran finca agrícola y ocuparse de los negocios familiares. Se casó con su prima Fanny Prausnitzer en 1848 y tuvo seis hijos. Fue, durante aproximadamente una década, un próspero hombre de negocios de provincias que, casualmente, publicaba matemáticas originales por su cuenta, incluido un estudio de 1853 sobre la resolubilidad algebraica de ecuaciones que extendía el trabajo de Galois, y un tratamiento de 1850 de la ecuación de quinto grado utilizando la teoría de grupos (no mediante radicales, lo cual Abel y Ruffini ya habían demostrado que era imposible).

El negocio tuvo suficiente éxito como para que en 1855 pudiera regresar a Berlín y vivir allí simplemente como un erudito privado sin puesto y sin necesidad de uno. Su elección para la Academia de Berlín en 1861 le dio derecho a dar conferencias en la universidad, lo que comenzó a hacer en 1862; enseñó durante dos décadas sin ocupar una cátedra. En 1866 rechazó la cátedra de matemáticas de Gotinga —la sede de Gauss y Dirichlet, posiblemente el puesto más prestigioso en las matemáticas europeas— prefiriendo Berlín. Solo en 1883, cuando Kummer se jubiló, aceptó una cátedra ordinaria, sucediendo al maestro que lo había descubierto.

El sueño más querido de la teoría de números

Las matemáticas de Kronecker son del tipo que siembran una disciplina en lugar de cerrarla. En 1853 formuló lo que se convirtió en el teorema de Kronecker-Weber, cuya demostración completa fue proporcionada más tarde por David Hilbert. Introdujo el teorema de estructura para grupos abelianos finitamente generados, uno de los resultados fundamentales del álgebra moderna. Trabajó en funciones elípticas y conjeturó lo que llamó su "liebster Jugendtraum" —el sueño más querido de su juventud—, una visión de la teoría de cuerpos de clases explícita que Hilbert incorporó más tarde a su duodécimo problema, donde sigue siendo un programa de investigación vigente.

En teoría algebraica de números, construyó una teoría de divisores como alternativa a la teoría de ideales de Dedekind, y lo hizo por razones filosóficas más que técnicas: los divisores podían manejarse mediante una construcción explícita, mientras que los ideales requerían conjuntos infinitos. El enfoque de Dedekind ganó el siglo y el de Kronecker fue tratado ampliamente como una curiosidad, hasta que el siglo XX lo rescató. Su nombre está ahora unido a una cantidad inverosímil de objetos matemáticos: la delta de Kronecker, el producto de Kronecker, el símbolo de Kronecker, la fórmula límite de Kronecker, el teorema de Kronecker, el lema de Kronecker, el teorema de Kronecker-Capelli y la sustitución de Kronecker.

La guerra contra el infinito

La posición filosófica que generó la teoría de divisores generó todo lo demás, incluida la enemistad. Kronecker sostenía que las matemáticas debían construirse a partir de los números enteros mediante una construcción finita y explícita, una doctrina ahora llamada finitismo, que lo convirtió en un precursor del intuicionismo. Contribuyó al concepto de continuidad y a la reconstrucción de los números irracionales en el análisis real, pero rechazó la función continua en ninguna parte diferenciable de Weierstrass por razones filosóficas, y atacó la teoría de conjuntos de Georg Cantor, con su jerarquía de infinitos actuales, como ilegítima.

No limitó estos puntos de vista a los seminarios. Su campaña tensó tanto su relación con Karl Weierstrass que en 1888 este casi abandona la universidad. En el último año de su vida, Kronecker se convirtió al cristianismo. Murió en Berlín el 29 de diciembre de 1891 y fue enterrado en el cementerio Alter St. Matthäus Kirchhof en Schöneberg.

Por qué a Leopold se le llama genio

El caso descansa sobre una combinación específica y rara: el instinto de un algebrista para la estructura combinado con una exigencia casi obsesiva de contenido constructivo. Kronecker parece haber sido incapaz de aceptar un objeto matemático que no pudiera, en principio, construir, y esta restricción, que parece una limitación, funcionó como un generador. Produjo la teoría de divisores, el teorema de estructura para grupos abelianos finitamente generados, el teorema de Kronecker-Weber y el Jugendtraum, varios de los cuales reorganizaron sus campos. Sus conjeturas también estuvieron inusualmente bien dirigidas: dice mucho el hecho de que Hilbert dedicara un esfuerzo considerable a demostrar una de ellas y a consagrar otra como un problema con nombre propio.

El contraargumento honesto es que su juicio sobre las matemáticas en su conjunto fue pobre, y a un costo elevado. Se equivocó sobre la función patológica de Weierstrass, que ahora es material estándar de pregrado. Se equivocó sobre Cantor, cuya aritmética transfinitas se volvió fundamental. Su teoría de divisores preferida fue eclipsada por los ideales de Dedekind durante la mayor parte de un siglo, lo que sugiere que sus escrúpulos constructivos sacrificaron un poder expresivo real en aquel momento. Y defendió estas convicciones con una ferocidad personal que casi expulsó de Berlín a un colega de la estatura de Weierstrass, una conducta que los historiadores no han podido justificar como mero rigor. El resumen justo es que Kronecker fue un matemático de primer nivel y un profeta de segundo nivel: sus teoremas han envejecido mucho mejor que sus opiniones, y sus objeciones filosóficas resultaron ser más útiles como una posición minoritaria permanente dentro de las matemáticas que como el programa que él pretendía.

Legado

Fue elegido miembro de la Academia Prusiana de las Ciencias en 1861, de la Academia Francesa de las Ciencias en 1868 y de la Royal Society en 1884, y el asteroide 25624 Kronecker lleva su nombre. Supervisó a Kurt Hensel, Adolf Kneser, Mathias Lerch y Franz Mertens; los números p-ádicos de Hensel son un descendiente directo del impulso constructivo. El resurgimiento de su teoría de divisores en el siglo XX y la supervivencia del intuicionismo como una alternativa fundamental seria significan que el hombre que perdió la discusión en su vida nunca la perdió por completo.