Karen Uhlenbeck: la analista que reconstruyó la geometría

Una película de jabón extendida sobre un marco de alambre se asienta en la superficie más pequeña que puede encontrar. Karen Uhlenbeck construyó una carrera sobre lo que sucede cuando no puede hacerlo: cuando el proceso de minimización de energía se descompone en puntos aislados y se concentra en lo que los matemáticos ahora llaman una burbuja. El artículo que escribió con Jonathan Sacks describiendo ese fallo dividió la disciplina por la mitad. "Existió un antes del artículo de Sacks-Uhlenbeck, y un después", ha dicho el geómetra François Labourie. En 2019 se convirtió en la primera mujer en recibir el Premio Abel.

Cleveland y un carnet de biblioteca

Karen Keskulla Uhlenbeck nació el 24 de agosto de 1942 en Cleveland, Ohio, la mayor de los cuatro hijos de Arnold Keskulla, ingeniero, y Carolyn Windeler Keskulla, artista. Creció en el campo y leía de forma compulsiva. "De niña leía mucho y leía todo", recordó. "Iba a la biblioteca y luego me quedaba despierta toda la noche leyendo". Alrededor de los doce años, su padre le entregó los libros de astrofísica de Fred Hoyle; Uno, dos, tres... infinito de George Gamow la atrapó porque explicaba que hay diferentes tamaños de infinito.

Fue a la Universidad de Michigan con la intención de estudiar física y obtuvo una licenciatura en matemáticas en 1964. Le siguió una maestría en Brandeis en 1966 y un doctorado allí en 1968 bajo la supervisión de Richard Palais.

Una puerta que no quería abrirse

Entonces la carrera se estancó, por razones que no tenían nada que ver con las matemáticas. Después de un año posdoctoral en el MIT y dos años de docencia en Berkeley, Uhlenbeck no pudo conseguir un trabajo permanente. Ha sido directa sobre el porqué. "Me dijeron... que la gente no contrataba mujeres, que las mujeres debían irse a casa y tener bebés". Las universidades que querían a su marido —MIT, Stanford, Princeton— se negaron a contratarla, invocando reglas contra el nepotismo para que la negativa pareciera un procedimiento.

Obtuvo un puesto en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign en 1971, y su marido siguió su carrera en lugar de la suya. Desde allí se trasladó a la Universidad de Illinois en Chicago y fue ascendida a profesora titular. Una beca MacArthur en 1983 la llevó a la Universidad de Chicago, y desde 1988 ocupa la cátedra Sid W. Richardson Foundation Regents en la Universidad de Texas en Austin.

Burbujeo

El trabajo de Sacks-Uhlenbeck se refería a las aplicaciones armónicas: qué sucede con los funcionales de energía para las aplicaciones desde superficies a espacios curvos. La pareja demostró que las secuencias que minimizan la energía convergen a aplicaciones armónicas en casi todas partes, pero que en puntos aislados el análisis falla y se desprende una cantidad de energía equivalente a una esfera: se forman burbujas. La perspicacia no fue que el método se rompiera, sino que la rotura tenía una estructura precisa y clasificable. Las singularidades dejaron de ser una obstrucción y se convirtieron en un objeto de estudio. El burbujeo es ahora equipo estándar en todo el análisis geométrico.

Teoría de gauge y la revolución de Donaldson

A principios de la década de 1980, Uhlenbeck dirigió los mismos instintos analíticos hacia las ecuaciones de Yang-Mills, las matemáticas subyacentes a la física de los campos de gauge. Introdujo nuevos sistemas de coordenadas adaptados al problema, demostró un teorema de compacidad para conexiones con curvatura acotada y estableció sus resultados de singularidades eliminables, demostrando, en efecto, que en cuatro dimensiones los puntos malos pueden rellenarse.

Esta era la maquinaria que todo un campo había estado esperando. Sus herramientas hicieron posible utilizar instantones geométricamente, que es lo que Simon Donaldson procedió a hacer en el trabajo que le valió la Medalla Fields. La evaluación del propio Donaldson es que los resultados de Uhlenbeck "sustentan la mayor parte del trabajo posterior en esta área".

Sistemas integrables y un campo propio

Con Nigel Hitchin y Chuu-Lian Terng, Uhlenbeck demostró que las aplicaciones armónicas desde superficies hacia espacios homogéneos vienen en familias de un parámetro, conectándolas con sistemas integrables de dimensión infinita: un puente entre la geometría y la maquinaria algebraica de la teoría de solitones.

En conjunto, el trabajo equivale a fundar el análisis geométrico moderno: la fusión deliberada de ecuaciones diferenciales parciales complejas con la topología y la geometría. La descripción que hace Uhlenbeck de cómo lo hizo es característicamente sencilla, como "saltar desde una cubierta sin saber qué iba a pasar".

Haciendo espacio

No trató su propio paso por la profesión como un asunto privado. Uhlenbeck cofundó el programa Mujeres y Matemáticas en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y ayudó a establecer el Instituto de Matemáticas de Park City; su tutoría a mujeres matemáticas se califica rutinariamente como legendaria. Se ha negado a aceptar la autocomplacencia de la disciplina sobre el progreso. Al recibir el Premio Steele de la AMS en 2007, dijo: "Sigo bastante decepcionada por el número de mujeres que hacen matemáticas y ocupan puestos de liderazgo. Esto se debe, en mi opinión, principalmente a la cultura de la comunidad matemática, así como a las duras presiones sociales externas".

Los honores se acumularon: la MacArthur en 1983, la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias en 1985, las Conferencias de Coloquio de la AMS el mismo año, la Academia Nacional de Ciencias en 1986, la Conferencia Noether en 1988, un discurso plenario en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1990 —solo la segunda mujer en dar uno—, la Medalla Nacional de Ciencias en 2000 "por sus muchas contribuciones pioneras a la geometría global", el Premio Steele en 2007, el Premio Abel en 2019, una beca AWM en 2020 y una beca de la Royal Society en 2023.

Por qué a Karen se le llama genio

La facultad en cuestión es un tipo específico de instinto: el de Uhlenbeck es ir directamente al punto donde un método colapsa. La mayoría de los matemáticos evitan las singularidades. Ella trató el lugar donde falla el análisis como el lugar donde realmente vive la geometría, y luego construyó el aparato técnico para describirlo. Es por eso que sus resultados funcionan como infraestructura: el burbujeo, la compacidad y las singularidades eliminables no son teoremas que la gente cita tanto como herramientas que la gente usa sin darse cuenta.

Las personas que lo dicen no son publicistas. La mención del Premio Abel le atribuye "logros pioneros en ecuaciones diferenciales parciales geométricas, teoría de gauge y sistemas integrables" y un "impacto fundamental" en el análisis, la geometría y la física matemática, y la Academia Noruega describió su trabajo como productor de algunos de los avances más dramáticos en matemáticas de los últimos cuarenta años. Donaldson dice que sus resultados sustentan el campo. Sun-Yung Alice Chang señala que "su influencia cruza las diferentes ramas de las matemáticas". Labourie traza una línea a través de la historia en uno de sus artículos.

El contraargumento honesto tiene dos partes. Primero, sus logros emblemáticos son facilitadores: el análisis que proporcionó hizo posibles los teoremas titulares de otras personas, y la Medalla Fields por la geometría de los instantones fue para Donaldson. Si eso la convierte en la figura más importante o menos es un argumento genuino, no resuelto. Segundo, el reconocimiento llegó tarde y ahora es inseparable del hecho de ser la primera, un encuadre que corre el riesgo de convertir a una analista formidable en un símbolo y omitir silenciosamente las matemáticas. La propia Uhlenbeck ha tenido cuidado de no afirmar nunca la clarividencia. Su propio relato del trabajo es que saltó desde una cubierta sin saber qué había debajo.

Legado

El análisis geométrico existe como un tema coherente en gran parte porque Uhlenbeck insistió en que las técnicas analíticas más difíciles disponibles pertenecían a la geometría. Las burbujas que ella y Sacks encontraron a finales de la década de 1970 son ahora una parte estándar de cómo los matemáticos piensan sobre los límites y los fallos, y las mujeres que entraron en el campo a través de su programa de Princeton constituyen un segundo cuerpo de trabajo menos citable.