Georg Cantor: El hombre que hizo contable el infinito

En enero de 1874, Cantor le planteó una pregunta a su amigo Richard Dedekind: "¿Se puede referir unívocamente una superficie (digamos, un cuadrado que incluye el borde) a una línea... de modo que para cada punto de la superficie haya un punto correspondiente en la línea y viceversa?". Supuso que la respuesta era obviamente no. Tres años después demostró que era sí: que un cuadrado completo, e incluso un espacio de cualquier número de dimensiones, contiene exactamente tantos puntos como un solo segmento de línea. Escribió a Dedekind de inmediato: "¡Lo veo, pero no lo creo!".

Hijo de un comerciante en San Petersburgo

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nació el 3 de marzo de 1845 en San Petersburgo. Su padre, Georg Waldemar Cantor, era un exitoso comerciante; su madre, Maria Anna Böhm, era rusa y notablemente musical. En 1856, cuando Georg tenía once años, la salud de su padre obligó a la familia a trasladarse a Alemania, donde se establecieron primero en Wiesbaden.

Asistió al gimnasio en Fráncfort y a la Realschule en Darmstadt, graduándose en 1860 con notas excepcionales en matemáticas y trigonometría. Su padre lo destinaba a la ingeniería; Cantor obtuvo permiso para estudiar matemáticas en su lugar. Ingresó en la Politécnica de Zúrich en 1862 y, tras la muerte de su padre en junio de 1863, se trasladó a la Universidad de Berlín, donde estudió con Weierstrass, Kummer y Leopold Kronecker, y se hizo amigo de Hermann Schwarz. Su tesis, sobre ecuaciones indeterminadas, fue completada en 1867.

Halle y el problema de Heine

Tras una etapa enseñando en una escuela femenina de Berlín, Cantor se unió a la Universidad de Halle en 1869, la institución provincial donde pasaría toda su carrera. Su colega Heine le planteó un problema de larga data sobre la unicidad de las representaciones de series trigonométricas. Cantor lo resolvió en abril de 1870.

Ese problema es la semilla de todo. Seguir los puntos excepcionales donde tal serie podría comportarse mal le obligó a pensar profundamente sobre los conjuntos infinitos de puntos, y para 1872 había definido los números irracionales mediante secuencias convergentes de racionales y comenzado la correspondencia con Dedekind que lo sostendría durante una década.

Más de un infinito

En 1874, Cantor publicó el resultado que abrió el mundo. Demostró que los números racionales pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los números naturales (son contables), mientras que los números reales no pueden. No hay un solo infinito; hay al menos dos, y son de diferentes tamaños.

El método era el criterio que había inventado: dos colecciones tienen el mismo tamaño si sus miembros pueden emparejarse exactamente, sin importar cuán grandes sean. Parecía un truco, y sus consecuencias fueron inmediatas y escandalosas. Cantor observó que de ello se seguía que "casi todos" los números son trascendentales en lugar de algebraicos: una prueba de existencia para toda una clase de números, lograda sin mostrar ni uno solo.

El transfinito

Su artículo de 1878 en el Journal de Crelle introdujo el término "conjuntos numerables". La hostilidad de Kronecker casi bloqueó su publicación y Dedekind tuvo que intervenir; Cantor nunca volvió a presentar trabajos a Crelle.

Entre 1879 y 1884 publicó seis artículos en Mathematische Annalen fundando la teoría de conjuntos. El Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre de 1883 presentó los números transfinitos como "una extensión autónoma y sistemática de los números naturales", no como parches o límites, sino como números que se pueden ordenar y con los que se puede operar aritméticamente. Sabía lo que hacía: "Me doy cuenta de que en esta empresa me coloco en cierta oposición a las opiniones ampliamente sostenidas sobre el infinito matemático".

Denotó a los cardinales transfinitos con la letra hebrea aleph, siendo ℵ₀ el más pequeño, y expresó el tamaño de los números reales como 2^ℵ₀. Eso planteó la pregunta que consumió el resto de su vida. ¿Es el continuo el siguiente infinito después del contable?, ¿es 2^ℵ₀ = ℵ₁? Contra el constructivismo de Kronecker, lanzó su manifiesto: "la esencia de las matemáticas reside precisamente en su libertad".

Crisis, Bacon y el Papa

Cantor sufrió su primera depresión registrada en mayo de 1884. La vieja historia es que la persecución de Kronecker lo volvió loco; la lectura moderna invierte la causalidad, sosteniendo que la depresión magnificó sus preocupaciones matemáticas en lugar de ser producida por ellas. Alternó durante años entre creer que había demostrado que la hipótesis del continuo era cierta y creer que la había demostrado falsa, encontrando el error cada vez.

En 1885, Mittag-Leffler lo persuadió de retirar un artículo de Acta Mathematica argumentando que se adelantaba unos cien años. La broma de Cantor fue amarga: "¡Si Mittag-Leffler se hubiera salido con la suya, tendría que esperar hasta el año 1984, lo que me pareció una exigencia demasiado grande!". Su correspondencia terminó efectivamente, y con ella la oleada creativa de doce años que había construido la teoría de conjuntos.

En sus periodos depresivos se volcó a la filosofía y la literatura, obsesionándose con la teoría de que Francis Bacon escribió las obras de Shakespeare y publicando panfletos al respecto en 1896-97. También era intensamente religioso y creía que los números transfinitos le habían sido comunicados por Dios. Mantuvo correspondencia con teólogos católicos sobre la naturaleza del infinito y escribió directamente al Papa León XIII, esperando que sus matemáticas pudieran informar la doctrina de la iglesia.

Las últimas décadas

Fundó la Deutsche Mathematiker-Vereinigung alrededor de 1890 y fue su primer presidente. Sus últimos artículos importantes, en 1895 y 1897, examinaron la aritmética transfinita y los conjuntos bien ordenados. En el Congreso Internacional de Zúrich de 1897 fue elogiado públicamente por Hurwitz y Hadamard y se reconcilió con Dedekind.

Para entonces, él mismo había encontrado las grietas, informando a Hilbert en 1896 de las paradojas que acechaban en la teoría de conjuntos; Burali-Forti publicó una de forma independiente en 1897. Las pérdidas personales llegaron rápidamente: su madre en octubre de 1896, su hermano en enero de 1899 y su hijo menor el 16 de diciembre de 1899. La depresión dominó el resto de su vida, y después de 1900 pasó largos periodos en la Nervenklinik de Halle, ausentándose de la enseñanza en los inviernos de 1902-03, 1904-05 y 1907-08. Recibió la Medalla Copley de la Royal Society y un título honorífico de St Andrews, viajando allí en 1911 para el 500 aniversario de la universidad. Murió de un ataque al corazón en Halle el 6 de enero de 1918.

Por qué a Georg se le llama genio

El propio Hilbert proporcionó la palabra, llamando al trabajo de Cantor "el mejor producto del genio matemático y uno de los logros supremos de la actividad intelectual humana pura". La cualidad específica fue la voluntad de confiar en una definición por encima de una intuición. Todos antes que él trataron el infinito como una dirección, no como una cantidad. Cantor propuso un criterio para la igualdad de tamaño (emparejamiento exacto), lo aplicó sin vacilar a colecciones infinitas y lo siguió a dondequiera que condujera, incluidas las conclusiones que él mismo no podía creer. "Lo veo, pero no lo creo" es la frase de un hombre arrastrado por su propia lógica, y que avanza de todos modos.

Vale la pena exponer el contraargumento. Nunca resolvió la hipótesis del continuo, y repetidamente se convenció de que lo había hecho (en ambas direcciones) antes de encontrar sus errores, lo que refleja tanto su juicio como la profundidad del problema. Gödel y Cohen eventualmente mostraron que la hipótesis es independiente de los axiomas estándar, por lo que lo que persiguió durante treinta años no estaba allí para ser capturado. Lo que construyó también estaba inacabado e inconsistente: descubrió paradojas en su propio sistema, y tomó la axiomatización de Zermelo, y más tarde la de Fraenkel y von Neumann, para hacer segura la teoría de conjuntos. Su convicción de que los números transfinitos provenían de Dios, su cabildeo ante el Vaticano y sus panfletos baconianos sugieren una certeza que no siempre estuvo bien calibrada. Y nunca obtuvo la prestigiosa cátedra que deseaba, pasando cuarenta años en Halle.

Legado

La teoría de conjuntos se convirtió en la base sobre la que descansan las matemáticas modernas, desde los Principia Mathematica hasta los axiomas de Zermelo-Fraenkel que los matemáticos todavía utilizan. El tributo de Hilbert es el que perduró: nadie nos expulsará del paraíso que Cantor creó.